1、房山区2017-2018学年度第一学期期末考试试卷高三年级数学学科（理）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合，则集合等于（A） （B） （C） （D）（2）在复平面内，复数在复平面中对应的点在（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（3）若变量满足约束条件，则的最大值为（A） （B） （C） （D）（4）某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的为，
2、则输出的的值分别为 输入p开始n=1,s=0sps=s+3nn=n+1是否输出n,s结束（A） （B）（C） （D）（5）“”是“”成立的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（6）下列函数是奇函数且在区间上单调递增的是（A） （B） （C） （D）（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是 （A） （B） （C） （D）Oyabx（8）函数的图象如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值的集合为（A） （B） （C） （D） 第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小
3、题5分，共30分。（9）已知平面向量，且，则 （10）在中，三个内角所对的边分别是若，则 （11）中国古代钱币（如图）承继了礼器玉琮的观念，它全方位承载和涵盖了中华文明历史进程中的文化信息，表现为圆形方孔如图，圆形钱币的半径为,正方形边长为，在圆形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是图1 图2（12）等差数列的首项为，公差不为，且成等比数列，则_.（13）能够说明“若甲班人数为，平均分为；乙班人数为，平均分为，则甲乙两班的数学平均分为”是假命题的一组正整数,的值依次为_（14）将正整数分解成两个正整数的乘积有三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为的最佳分解.当（且）是正整数
4、的最佳分解时，我们定义函数，例如.则 ，数列（）的前项和为 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15）（本小题分）已知函数（）求的最小正周期；（）求函数在区间上的值域（16）（本小题分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于分的具有复赛资格，某校有名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图（）求获得复赛资格的人数；（）从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人?（）从（）抽取的人中，选出人参加全市座谈交流，设表示得分在区间中参加全市座谈交流的
5、人数，求的分布列及数学期望.（17）（本小题分）yABBCCDDNNMM如图几何体ADM-BCN中，是正方形，.（）求证：；（）求证：； （）求二面角的余弦值.（18）（本小题分）已知直线过点，圆:,直线与圆交于两点.（） 求直线的方程；（）求直线的斜率的取值范围；（）是否存在过点且垂直平分弦的直线?若存在，求直线斜率的值，若不存在，请说明理由（19）（本小题分） 已知函数（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，设,求在区间上的最大值（20）（本小题分）对于各项均为整数的数列，如果满足（）为完全平方数，则称数列具有“性质”；不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同时满足下面
6、两个条件：是的一个排列；数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”.（）设数列的前项和，证明数列具有“性质”； （）试判断数列和数列是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由；（）对于有限项数列，某人已经验证当（）时，数列具有“变换性质”，试证明：当时，数列也具有“变换性质”.房山区2017-2018学年度第一学期期末考试试卷答案高三年级数学学科（理）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。题号12345678答案（A）（A）（C）（D）（A）（C）（B）（C）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）
7、 （10） （11） （12） （13） 是不相等的正整数即可（14），三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (15)解：（） 7分（）由（）得因为，所以， 所以，因此所以的值域为 13分（16）解：（1）由题意知之间的频率为:获得参赛资格的人数为 5分（）结果是5，2.（）的可能取值为0，1，2，则故的分布列为：012 13分（17）解：（）在正方形中，；又，； 5分（）四边形是正方形， 10分Azx（）法1：以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示；由（）；设面的法向量，令，由图可知二面角为锐角二面角的余弦值为 14分法2：以点C为坐标原点，建立空间
8、直角坐标系，如图所示；由（）；设面的法向量，令，由图可知二面角为锐角二面角的余弦值为. 14分（18）（）设圆,圆心为，故直线的方程为，即 5分（）法1：直线的方程为，则由得由得故 10分法2：直线的方程为，即，圆心为，圆的半径为1则圆心到直线的距离因为直线与有交于两点，故，故（）假设存在直线垂直平分于弦,此时直线过，则，故的斜率，由（）可知，不满足条件所以，不存在存在直线垂直于弦。 14分（19）解：(I)当时， 所以. 所以，切点为. 所以曲线在点处的切线方程为即 6分（）因为，,令,则当时, ,为减函数所以的最大值为当时, 时+ 0 - 极大 所以的最大值为当时, 时，恒成立，为增函数所以的最大值为 13分 （20）解：（）当时， ，又，所以. 所以（）是完全平方数，数列具有“M性质”.4分（）数列具有“变换M性质”， 数列为. 数列不具有“变换M性质”. 因为，都只有与的和才能构成完全平方数，所以数列不具有“变换M性质”. 8分（）设，注意到，令， 由于，所以，又，所以，即. 因为当（）时，数列具有“变换M性质”，所以可以排列成，使得都是平方数； 另外，可以按相反顺序排列，即排列为，使得， 所以可以排成满足都是平方数. 13分
