1、东北师大附中第六次摸底考试 数学（文）试卷 命题人：高三数学文科备课组本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，共3页，考试时间120分钟.注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔和2B铅笔，将自己的准考证号、姓名和考试科目填写清楚。2每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。第卷一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知是虚数单位，则（A） （B） （C） （D）（2）已知集合，且，则（A） （B）
2、（C） （D）（3）已知命题，则是（A） （B） （C） （D）（4）已知向量的夹角的余弦值是，且满足，则（A） （B） （C） （D） （5）已知，且则 开始输出结束是否第（6）题图（A） （B） （C） （D） （6）执行如图所示的程序框图，输出的值为（A） （B） （C） （D）（7）已知等比数列的公比为, 且成等差数 列，则（A）或 （B） （C）或 （D）（8）已知抛物线的焦点为，准线为，且与轴交于点，是抛物线上一点，垂足为，则四边形的面积等于（A） （B） （C） （D）（9）已知函数，满足，则（A） （B） （C） （D）不确定（10）甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定
3、它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（A） （B） （C） （D）（11）如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体的最长的棱长等于正视图侧视图俯视图1 第（11）题图（A） （B） （C） （D） （12）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点在双曲线上，则双曲线的离心率等于（A） （B） （C） （D）第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答.二填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）在空间直角坐标系中，则 .（14）某校为了调查高三年级参加某项户外
4、活动的文科生和理科生的参与情况，用简单随机抽样，从报名参加活动的所有学生中抽取名学生，已知每位学生被抽取的概率为.若按文科生和理科生两部分采取分层抽样，共抽取名学生，其中名是理科生，则报名参加活动的文科生共有 人.（15）已知函数，则 .（16）关于函数的五个命题：在区间上是单调递增函数；只有极小值点，没有极大值点；的解集是；函数在处的切线方程为；函数最多有个零点.其中，是真命题的有 （请把真命题的序号填在横线上）.三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分12分）已知数列的前项和为，.（）求数列的通项公式；（）若等差数列的前项和为，且满足，求.（18）（本小题满分1
5、2分） 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 77 83 80 90 85 （）用茎叶图表示这两组数据，并写出乙组数据的中位数； （）经过计算知甲、乙两人预赛的平均成绩分别为，乙的方差为，现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加较合适？请说明理由； （）从甲、乙不低于85分的成绩中各抽取一次成绩，求甲学生成绩高于乙学生成绩的概率.（参考公式：）FSABCDE（19）（本题满分12分）在底面为正方形的四棱锥中，平面，、是、的中点，（）求证：平面；（
6、）若，求点到平面的距离.（20）（本题满分12分）设椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长等于，离心率为，直线过焦点且与椭圆交于两点（在第一象限），与的面积比为.()求椭圆的方程；()求直线的方程（21）（本小题满分12分）已知，函数，且曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直.（）求的值；（）设，若对任意的，且，都有，求证：（参考公式：为常数）.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，自圆外一点引圆的切线，切点为，为的中点，过点引圆的割线交圆于，两点，且，（）求的大小；（）记和的面积分别为和
7、，求（23）（本小题满分10分）选修44：极坐标与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），曲线 （）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求的极坐标方程； （）射线与的异于极点的交点为，与的交点为，求（24）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 已知函数（）若不等式的解集为，求实数的值；（）在（）的条件下，若，使得，求实数的取值范围东北师大附中第六次摸底考试 数学（文）试卷答案一、选择题 ACBBD CBAAA BD二、填空题 （13） （14） （15） （16）三、解答题（17）解：（）由得，且则数列为以3为首项公比为3的等比数列, 故（）设等差数列的公差为，则由，得，解
8、得，又 18.解：（1）茎叶图：甲乙9 8778 4 2 180 0 3 55 390 2 5乙组数据的中位数为84.（2）计算，由，说明甲学生发挥稳定，由，说明乙学生成绩稍高一些，如果想冒险一点取得好成绩，就派乙去参加，想保守一些就让甲去参赛.（只要学生理由充分，即可得满分）（3）共有12个基本事件，其中，甲成绩高于乙成绩有7个基本事件，所以 （19）（）证明：取的中点,连接、,由于点为侧棱的中点，为的中点故在中，,由于是的中点故,FSABCDE故故为平行四边形故，又平面，平面故平面（）由面,又面,故又,故面,又面故到面的距离为的长，即为5.设点到平面的距离为h.又 故 故（20）()解：.
9、 ()解：设直线的方程是与联立得设，则 ，又与同底，所以与的面积比为，所以代入上式消去得：因为点A在第一象限，.所以直线为：（21）解（），依题意有，因为，解得；又，所以可得.（）由（）知，所以可得在上单调递减，在上单调递增，所以，若对任意的，且，都有，不妨设设，可得，单调递减， 所以对，因为，而在上单调递减，所以即.（22）解：（）是圆的切线，是圆的割线，又为的中点，且， ，又，且，（）是圆的切线，在中， ，由正弦定理得：，（23）解：（）曲线为参数）可化为普通方程:， 由可得曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为（）射线与曲线的交点的极径为，射线与曲线的交点的极径满足，解得，所以（24）解：（），, 的解集为， ， （）, ，使得，即成立， ，即，解得，或, 实数的取值范围是
