1、第四章 导数专练1设函数（1）当时，求的单调区间是的导数）；（2）若有两个极值点、，证明：解：（1）当时，则，显然递减，且（1），故当时，时，故在递增，在递减；（2）证明：，由题意知有2个不相等的实数根，即有2个不相等的实数根，则，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（1），而时，故的取值范围是，由，得，故，令，则，故不等式只要在时成立，令，故在上单调递增，即，故在上单调递减，即，故原不等式成立2已知函数，（1）讨论函数的极值点；（2）若，是方程的两个不同的正实根，证明：解：（1），令，当时，无极值点，当时，令，解得：，当，时，递增，时，递减，故极大值点是，极小值点是；综上：时
2、，无极值点，时，极大值点是，极小值点是；（2）由，即，令，令，得，当时，当时，在递减，在，上递增，又有2个零点，即，解得：，且，两式相减得：，设，要证明，即证明，即证明，令，在上单调递减，（1），即3已知函数有两个不同的零点（其中为自然对数的底数）（1）当时，求证：；（2）求实数的取值范围；（3）若函数的两个零点为、，求证：证明：（1）当时，要证，只需证明，令，则，设，则，当时，在上，为单调递减函数，此时，所以原不等式成立解：（2），当时，当时，当，可得函数在上为单调递减函数，在上为单调递增函数，所以，当时，不合题意，当时，（1），若，则，当时，又因为当时，由（1）可得，由得，取满足且，则，所
3、以在上有唯一的零点，综上所述，证明：（3）函数的两个零点为、，所以，同理，由（1）得，所以，所以，因为，所以，所以，同理，所以4已知，函数（）若，求的取值范围；（）记，（其中为在上的两个零点，证明：解：（），当时，在上递增，又，故符合题意，当时，在递减，在递增，故，又，解得：，当时，在上单调递增，当时，不符合题意，综上：（2）证明：令，则且，记且，由于，故在和上递减，在上递增，且当时，当时，当时，当时，根据题意可知，且，先证，即证，即证，显然成立；再证，只需证，只需证，即证，又，只需证，亦即，即，由知，故，即得证5已知函数，（）当时，求函数的值域；（）若函数有两个零点，当时，不等式恒成立，求实
4、数的取值范围解：（），当时，函数在，单调递增，又（1），当时，函数在，单调递增，又（1），当时，又时，即所求的值域是；（）有两个零点，由，得，记，则，令，得，当时，单调递增，当时，单调递减，则，且当时，；当时，；必有又由（）知当时，即又，在单调递减又令，代入式得，即，又由题意函数有两个零点，得，两式相减得，又，得，又，只要，又，综上所述，实数的取值范围是6已知函数（1）若单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数有两个极值点，且，求证：解：（1）由题意知对任意，恒成立，即对任意，恒成立，易知函数在上单调递减，故，故，即的取值范围是，（2），由题意知，是的两个根，即，是方程的两个根，则，解得：，且
5、，则，要证，只需证，即证，从而，令，则，设函数，则，设，则，易知存在，使得，且当，时，当，时，故函数在，递减，在，递增，故，故在，上单调递减，从而，故，原命题成立7已知函数（1）求的单调区间；（2）当时，若，是方程的两根，求证：解：（1），定义域是，时，在单调递增，时，令，解得：，令，解得：，故在单调递增，在，单调递减，综上：时，在单调递增，时，在单调递增，在，单调递减（2）证明：由题意可知，是函数的零点，当时，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，故函数要有2个零点，必有（1），即，要证即证，只需证明，由于，（1），函数在，上存在唯一零点，即，又，令，故，在上单调递增，故，函数在上存在唯一零点，即，由可知成立，故8已知函数有最小值，且（）求的最大值；（）当取得最大值时，设（b），有两个零点为，证明：解：（）有题意，当时，在上单增，此时显然不成立，当时，令，得，此时在上单减，在上单增，（b），即，所以，所以的最大值为1（）证明：当取得最大值时，的两个零点为，则，即，不等式恒成立等价于，两式相减得，带入上式得，令，则，所以函数在上单调递增，（1），得证
