1、20192020学年（下）高二理科数学期末试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则复数对应的点在第（ ）象限A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】A【解析】【分析】根据周期性得到,得到答案.【详解】，故复数z对应的点在第
2、一象限.故选：A.【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.2.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的孙子歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知已知正整数被除余,被除余，被除余，求的最小值按此歌诀得算法如图，则输出的结果为（ ）A. 53B. 54C. 158D. 263【答案】A【解析】按程序框图知的初值为，代入循环结构，第一次循环，第二次循环，推出循环， 的输出值为 ，故选A.3.将函数图象向右平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法中正确的是（ ）A. 的周期
3、为B. 是偶函数C. 的图象关于直线对称D. 在上单调递增【答案】D【解析】【分析】首先利用三角恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，再利用图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数 的关系式，然后再利用正弦函数的性质对各选项进行判断，即可得到结果【详解】函数， 把函数图象向右平移个单位，得到， 再把各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)， 得到 故函数的最小正周期为，故选项A错误； 函数，不为偶函数，故选项B错误；当时，故选项C错误；由于，所以，故函数 单调递增，故选项D正确 故选：D【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性
4、质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题4.如图，矩形的边，平面，当在边上存在点，使时，则实数的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】可证，从而在平面中，在以为直径的圆上，从而可得实数的取值范围.【详解】因为平面，平面 ，所以，又，从而平面.因为平面，故.故在平面中，在以为直径的圆上，所以即.故选：A.【点睛】本题考查线线垂直的证明、线面垂直的判定与性质，注意空间中垂直关系的合理转化，本题属于中档题.5.将4名志愿者分别安排到火车站、轮渡码头、机场工作，要求每一个地方至少安排一名志愿者，其中甲、乙两名志愿者不安排在同一个地方工作，则不同的安排方法
5、共有A. 24种B. 30种C. 32种D. 36种【答案】B【解析】【分析】利用间接法，即首先安排人到三个地方工作的安排方法数，再求出当甲、乙两名志愿者安排在同一个地方时的安排方法数，于是得出答案【详解】先考虑安排人到三个地方工作，先将人分为三组，分组有种，再将这三组安排到三个地方工作，则安排人到三个地方工作的安排方法数为种，当甲、乙两名志愿者安排在同一个地方时，则只有一个分组情况，此时，甲、乙两名志愿者安排在同一个地方工作的安排方法数为，因此，所求的不同安排方法数为种，故选B【点睛】本题考查排列组合综合问题的求解，当问题分类情况较多或问题中带有“至少”时，宜用间接法来考查，即在总体中减去不
6、符合条件的方法数，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题6.三角形的面积为，其中为三角形的边长，为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）A. B. C. ，（为四面体的高）D. ，（分别为四面体的四个面的面积，为四面体内切球的半径）【答案】D【解析】【分析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，根据体积公式得到答案.【详解】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，将O与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，V（S1+S2+S3+S4）r.故选：D【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学
7、生的空间想象能力和推断能力.7.某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布，则分数位于区间分的考生人数近似为（ ）（已知若，则， ， ）A. 1140B. 1075C. 2280D. 2150【答案】C【解析】【分析】先计算区间（110，130）概率，再用0.5减得区间（130，150）概率，乘以总人数得结果.【详解】由题意得，因此，所以，即分数位于区间分的考生人数近似为，选C.【点睛】正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x对称，及曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3原则求概率问
8、题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一个.8.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各
9、项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的
10、经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.9.2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜潮举行，长三角城市群包括，上海市以及江苏省浙江省安徽省三省部分城市，简称“三省一市.现有名高三学生准备高考后到上海市江苏省浙江省安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出4名同学去旅游的所有情况种数，再求出恰有一个地方未被选中的种数，由概率公式计算出概率【详解】4名同学去旅游的所有情况有：种恰有一个地方未被选中共有种情况；所以恰有一个地方未被选中的概
11、率：；故选：B【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数，本题属于中档题10.已知，其中，则=（ ）A. 405B. 810C. 324D. 648【答案】B【解析】【分析】令可得，对两边求导后，再令即可得解.【详解】令可得，由题意可得，解得，所以，两边同时求导得，令可得，所以.故选：B.【点睛】本题考查了二项式定理应用及导数的计算，考查了运算求解能力，属于中档题.11.已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，若，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得PF2=F1F2=2c，再由椭圆的定义可得 PF1 =2a
12、-PF2=2a-2c设PF2F1 =，则，PF1F2中，由余弦定理可得 cos= 由-1cos可得 3e2+2e-10，e，由cos，可得 2aca2，e=，综上故选D点睛：本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到cos，且-1cos，构建关于 的不等关系是解题的关键12.已知函数，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是A. ，B. ，C. ，D. 【答案】A【解析】【分析】对函数求导数，利用导数判断函数在，上的单调性，把不等式恒成立化为，再解含有的不等式，从而求出的取值范围【详解】解：结合题意，显然，由，得，故，在，递增，故（1），对任意，不等式恒成立，即，即，解得：，故选：
13、A【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了数学转化思想方法，以及利用导数判断函数的单调性问题，属于中档题二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.有甲、乙两台机床生产某种零件，甲获得正品乙不是正品的概率为，乙获得正品甲不是正品的概率为，且每台获得正品的概率均大于，则甲乙同时生产这种零件，至少一台获得正品的概率是_.【答案】【解析】【分析】设甲乙两台机床生产正品的概率分别为，则，根据题意列方程组，解得，“甲乙同时生产这种零件，至少一台获得正品”为甲获得正品乙不是正品，乙获得正品甲不是正品，以及甲乙均获得正品，根据概率加法公式求解即可.【详解】设甲乙两台机床生产正品的概率分别为，
14、则，.甲获得正品乙不是正品的概率为又乙获得正品甲不是正品的概率为联立得，解得则甲乙均获得正品的概率为即甲乙同时生产这种零件，至少一台获得正品的概率是故答案为：【点睛】本题考查概率的加法与乘法公式，属于中档题.14.已知服从二项分布，则 _.【答案】【解析】分析：先根据二项分布数学期望公式得，再求.详解：因为服从二项分布，所以所以点睛：本题考查二项分布数学期望公式，考查基本求解能力.15.已知函数，若正实数满足，则的最小值是_【答案】【解析】因为，所以函数为单调递增奇函数，因此由，得 因此，当且仅当时取等号. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“
15、正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16.设奇函数定义在上，其导函数为，且，当时，,则关于的不等式的解集为 【答案】【解析】【详解】设，是定义在上奇函数，是定义在上的偶函数，当时，在上单调递减，在上单调递增，或，或.关于x的不等式的解集为.考点：利用导数研究函数的单调性.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列前三项的和为，前三项的积为，（1）求等差数列的通项公式；（2）若公差，求数列的前项和.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的的公差为，由，建立
16、方程组求解；（2）由（1）可知，根据项的正负关系求数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的的公差为由，得所以又得，即所以，或 即或（2）当公差时，1）当时，设数列的前项和为，则2）当时，当时，也满足，当时，也满足，所以数列的前项和【点睛】本题考查等差数列的通项，等差数列求和，以及含绝对值数列的前项的和，属于中档题.18.在直角坐标系中，直线参数方程为（为参数，），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程及直线在轴正半轴及轴正半轴截距相等时的直角坐标方程；（2）若，设直线与曲线交于不同两点、，点，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）
17、将曲线的极坐标方程化为，由此可得出曲线的直角坐标方程，根据题意可求得直线的斜率，进而可求得直线的直角坐标方程；（2）将代入直线的参数方程，再将直线的参数方程与曲线的直角坐标方程联立，设点、对应的参数分别为、，列出韦达定理，结合的几何意义可求得的值.【详解】（1）由得，所以，由，得曲线的直角坐标方程为.当直线在轴正半轴及轴正半轴截距相等时，由得，所以，即此时直线的直角坐标方程为；（2）当时，直线的参数方程为（为参数）,设点、对应的参数分别为、，将直线的参数方程代入，得，整理得，由韦达定理得，故.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了直线参数方程几何意义的应用，
18、考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.19.已知函数，.（1）当，时，求不等式的解集；（2）若的最小值为2，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用零点分界法即可求解.（2）利用绝对值三角不等式可得，然后由，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）依题意，当时，解得，即，当时，解得成立，即，当时，解得，即，综上所述，不等式的解集为.（2），所以.当且仅当时，取等号.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、基本不等式证明不等式，属于基础题.20.为实现2020年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造.经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的
19、一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件.如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x，进行统计整理的频率分布直方图.根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x满足：|x12|1为一级品，1|x12|2为二级品，|x12|2为三级品.（）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，再从所抽取的40件产品中，抽取2件尺寸x12，15的产品，记为这2件产品中尺寸x14，15的产品个数，求的分布列和数学期望；（）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验.已知每箱有100件产品，每件产品的检验费用为50元.检验规定：若检验出三级
20、品需更换为一级或二级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付200元补偿.现从一箱产品中随机抽检了10件，结果发现有1件三级品.若将甲设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验？请说明理由；（）为加大升级力度，厂家需增购设备.已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500元/件；二级品的利润为400元/件；三级品的利润为200元/件.乙种设备产品中一、二、三级品的概率分别是，.若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家的利润作为决策依据.应选购哪种设备？请说明理由.【答案】（）分布列见解析，；（）不对剩余产品进行逐一检验，理由见解析；
21、（）应选购乙设备，理由见解析.【解析】【分析】（I）利用频率分布直方图中的频率（概率）求出尺寸在的产品件数，及在的产品件数，得的可能取值为0，1，2，分别计算出概率得概率分布列，由分布列计算出期望；（II）三级品的概率为（0.1+0.075）1=0.175，计算对剩余产品逐一检验和对剩余产品不检验需支付的费用，比较后可得；（III）利用频率（概率）计算出两种方案的利润期望，比较可得【详解】（I）抽取的40件产品中，产品尺寸x12，15的件数为：40（0.2+0.175+0.075）1=18，其中x14，15的产品件数为40（0.0751）=3，的可能取值为0，1，2，P（=0），P（=1），P
22、（=2），的分布列为：E012.（II）三级品的概率为（0.1+0.075）1=0.175，若对剩余产品逐一检验，则厂家需支付费用50100=5000；若对剩余产品不检验，则厂家需支付费用5010+200900.175=3650，50003650，故不对剩余产品进行逐一检验.（III）设甲设备生产一件产品的利润为y1，乙设备生产一件产品的利润为y2，则E（y1）=500（0.3+0.2）+400（0.150+0.175）+2000.175=415，E（y2）=500400200420.E（y1）E（y2）.应选购乙设备.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查随机变量的概率分布列和期望，考查期望的
23、应用，考查学生的数据处理能力和运算求解能力，属于中档题21.“海水稻”就是耐盐碱水稻，是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在海边滩涂地区，具有耐盐碱的水稻，它比其它普通的水稻均有更强的生存竞争能力，具有抗涝，抗病虫害，抗倒伏等特点，还具有预防和治疗多种疾病的功效，防癌效果尤为显著.海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度()对亩产量(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量与海水浓度之间的相关关系，用最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为.海水浓度()34567亩产量(吨)0.620.5
24、80.490.40.31残差（1）请你估计：当浇灌海水浓度为8时，该品种的亩产量.（2）完成上述残差表：统计学中，常用相关指数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，并用它来说明预报变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，利用统计学的相关知识，说明浇灌海水浓度对亩产量的贡献率？（计算中数据精确到）(附：残差公式，相关指数)【答案】（1）当海水浓度为8时，该品种的亩产量为0.24吨（2）填表见解析；所以浇灌海水浓度对亩产量的贡献率是，详解见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，算出，将样本中心点代入线性回归方程为，求出，从而可估计当浇灌海水浓度为8时，该品种的亩产量.（2）根据线性回
25、归方程和残差公式，即可求出个海水浓度时对应的残差，即可完成残差表；根据相关指数的公式，求出，根据的意义，即可得出浇灌海水浓度对亩产量的贡献率.【详解】（1）根据题意，可得，而与之间的线性回归方程为，则，解得：，当时，所以当海水浓度为8时，该品种的亩产量为0.24吨.（2）由（1）知，根据残差公式，得残差表如下：海水浓度()34567亩产量(吨)0.620.580.490.40.31残差-0.020.020.010-0.01根据题意，可得：，所以浇灌海水浓度对亩产量的贡献率是.【点睛】本题考查线性回归方程和残差的计算，以及相关指数的求法和根据的意义对实际问题进行分析，考查运算能力.22.已知函数
26、.（1）当时，求证：当时，；（2）若函数有两个零点，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1)求出，设，通过导数，求出恒成立，从而可判断的符号，进而可求出函数的单调性，即可证明.(2)参变分离，设，通过导数研究其单调性、最值，画出草图，结合零点个数，即可求出的值.【详解】（1）当时，则，解得由，则知：20单调递增极大值单调递减知时，即恒成立知为上的减函数，即，证毕；（2）由题意知有两个零点，设函数，则，即，解得或，则100单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以，极小值为；极大值为；当时，当时，且，则 草图如下：综上，有两个零点，有，即当时，有两个零点.【点睛】本题考查了运用导数判断函数的单调性，考查了已知函数零点个数求参数的值.本题第二问的关键是进行参变分离.
