1、第4讲幂函数与二次函数基础知识整合1幂函数(1)定义：形如yx的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，为常数常见的五类幂函数为yx，yx2，yx3，yx，yx1.(2)常见的5种幂函数的图象(3)性质幂函数在(0，)上都有定义当0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增当0)f(x)ax2bxc(a0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且0”(2)“ax2bxc0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且0)，则二次函数在闭区间m，n上的最大、最小值的分布情况(1)若m，n，则f(x)maxmaxf(m)，f(n)，f(x)minf.(2)若m，n，则f(x)maxmaxf(
2、m)，f(n)，f(x)minminf(m)，f(n)另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越小1已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(x)为()A偶函数B奇函数C定义域内的增函数D定义域内的减函数答案D解析设幂函数f(x)x，其图象过点，22，解得，f(x)x，f(x)在(0，)上为减函数故选D2若函数yx22tx3在1，)上为增函数，则t的取值范围是()At1Bt1Ct1Dt1答案A解析函数yx22tx3的图象关于直线xt对称，且开口向上，t1.3(2019河南安阳模拟)已知函数f(x
3、)x24xa，x0,1，若f(x)有最小值2，则f(x)的最大值为()A1B0C1D2答案A解析f(x)x24xa(x2)2a4，函数f(x)x24xa在0,1上单调递增，当x0时，f(x)取得最小值，当x1时，f(x)取得最大值，f(0)a2，f(1)3a321，故选A4函数g(x)x22x(x0,3)的值域是_.答案1,3解析g(x)(x1)21，g(x)ming(1)1，g(x)maxg(3)3.所求值域为1,35已知.若幂函数f(x)x为奇函数，且在(0，)上递减，则_.答案1解析幂函数f(x)x为奇函数，可取1,1,3，又f(x)x在(0，)上递减，cbaBabcdCdcabDabd
4、c答案B解析由幂函数的图象可知在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知abcd，故选B幂函数的图象特征(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx分的区域根据0,01的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较即时训练1已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()A3B1C2D1或2答案B解析由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3，经检验只有n1符合题意故选B2(201
5、9昆明模拟)设a20.3，b30.2，c70.1，则a，b，c的大小关系为()AacbBcabCabcDcba答案B解析由已知得a80.1，b90.1，c70.1，构造幂函数yx0.1，x(0，)，根据幂函数的单调性，知cab.考向二求二次函数的解析式例2已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式解解法一：(利用一般式)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7.解法二：(利用顶点式)设f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)，抛物线的对称轴为x.m.又根据题意函数有最大值8，n8.yf(x)
6、a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.解法三：(利用两根式)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值f(x)max8，即8.解得a4或a0(舍去)所求函数的解析式为f(x)4x24x7.确定二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：即时训练3.已知二次函数f(x)满足f(1x)f(1x)，且f(0)0，f(1)1，求f(x)的解析式解解法一：(一般式)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)x22x.解法二：(两根式)f(x)图象的对
7、称轴方程为x1，f(2)f(0)0，f(x)0的两根分别为0,2.可设其解析式为f(x)ax(x2)又f(1)1，可得a1，f(x)x(x2)x22x.解法三：(顶点式)由已知，可得顶点为(1,1)，可设其解析式为f(x)a(x1)21.又由f(0)0，可得a1，f(x)(x1)21x22x.精准设计考向，多角度探究突破考向三二次函数的图象与性质角度1二次函数的单调性例3(1)函数f(x)ax22x3在区间1,3上为增函数的充要条件是()Aa0Ba0C0f(2)f(4)Bf(4)f(5)f(2)Cf(4)f(2)f(5)Df(2)f(4)f(5)答案B解析因为对任意的实数t都有f(4t)f(4
8、t)，所以函数f(x)2x2bx的图象关于直线x4对称，所以f(2)f(10)，又函数f(x)2x2bx的图象开口向下，所以函数f(x)在4，)上是减函数，因为45f(5)f(10)，即f(4)f(5)f(2)(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较即时训练4.已知函数f(x)x22ax3，x4,6(1)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；(2)当a1时，求f(|x|)的单调区间解(1)由于函数f(x)的图
9、象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4,6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4.(2)当a1时，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此时定义域为x4,6，且f(x)f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是4,0角度2二次函数的最值问题例4(1)(2019南昌模拟)如果函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，那么实数a_.答案1解析因为函数f(x)x2axa的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得因为f(0)a，f(2)43a，所以或解得a1.(2)已知函数f(x)x22x3，xt，t2求f(x)的最值；当f(x)的最大值为5时，
10、求t的值解f(x)x22x3(x1)24，其图象的对称轴为直线x1.若t1，则当xt时，f(x)minf(t)t22t3；当xt2时，f(x)maxf(t2)t22t3.若t1t1，即0t1，则当x1时，f(x)minf(1)4；当xt2时，f(x)maxf(t2)t22t3.若t11t2，即10时，f(x)maxt22t3，设f(x)的最大值为g(t)，则g(t)因为g(t)5，所以t2；t2.故当f(x)的最大值为5时，t2或t2.二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间
11、两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成即时训练5.已知函数f(x)ax22ax1在区间1，2上有最大值4，求实数a的值解f(x)a(x1)21a.(1)当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值为常数1，不符合题意，舍去(2)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a.(3)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.综上可知，a的值为或3.角度3与二次函数有关的恒成立问题例5(1)(2019合肥模拟)设函数f(x)mx2mx1，若对于x1,3，f(x)m4恒成立，则实数m的取
12、值范围为()A(，0BC(，0)D答案D解析由题意，f(x)m4对于x1,3恒成立即m(x2x1)5对于x1,3恒成立当x1,3时，x2x11,7，不等式f(x)m4等价于m.当x3时，取最小值，若要不等式m对于x1,3恒成立，则必须满足m0恒成立，则实数a的取值范围为_.答案解析因为f(x)x22(a2)x4，其图象的对称轴为x(a2)，x3,1，f(x)0恒成立，所以讨论对称轴与区间3,1的位置关系得或或解得a或1a4或a1，所以a的取值范围为.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪
13、种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.即时训练6.已知两函数f(x)8x216xk，g(x)2x24x4，其中k为实数(1)对任意x3,3，都有f(x)g(x)成立，求k的取值范围；(2)存在x3,3，使f(x)g(x)成立，求k的取值范围；(3)对任意x1，x23,3，都有f(x1)g(x2)，求k的取值范围解(1)设h(x)f(x)g(x)6x212x4k，问题转化为x3,3时，h(x)0恒成立，故h(x)max0.由二次函数的性质可知h(x)maxh(3)86k，有86k0，得k86.(2)由题意，存在x3,
14、3，使f(x)g(x)成立，即h(x)f(x)g(x)6x212x4k0在x3,3时有解，故h(x)min0.由二次函数的性质可知h(x)minh(1)10k，有10k0，得k10.(3)对任意x1，x23,3，都有f(x1)g(x2)成立，所以f(x)maxg(x)min，x3,3由二次函数的性质可得f(x)maxf(3)120k，g(x)ming(1)2.故有120k2，得k118. (2019广州模拟)已知函数f(x)x22ax1a在0x1时有最大值2，求实数a的值解当对称轴xa0时，如图1所示，当x0时，y有最大值ymaxf(0)1a，所以1a2，即a1，且满足a1时，如图3所示当x1
15、时，y有最大值ymaxf(1)2aa2.a2，且满足a1，a2.综上可知，实数a的值为1或2.答题启示二次函数在区间上的最值问题，可分成三类：对称轴固定，区间固定；对称轴变动，区间固定；对称轴固定，区间变动此类问题一般利用二次函数的图象及其单调性来考虑，对于后面两类问题，通常应分对称轴在区间内、左、右三种情况讨论对点训练设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为直线x1.当t11，即t1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值为f(t)t22t2.综上可知，f(x)min
