1、专题讲练 专题3 立体几何 第1讲 空间几何体的表面积与体积第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航考 点新课标卷考题统计考纲解读2019年2018年2017年空间几何体的表面积卷，12卷，16卷，7本部分是高考必考内容，一般以选择或填空题的形式出现，要求有较强的空间想象能力和计算能力.空间几何体的体积卷，16卷，10卷，16，卷，4球体卷，12卷，8栏目导航02 热 点 题 型 03 精 题 强 化 01 真 题 感 悟 第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航01 真 题 感 悟 1(2019年浙江)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既
2、同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体sh，其中s是柱体的底面积，h是柱体的高若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是()A158 B162 C182 D324第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【答案】B【解析】由三视图可知几何体如图所示该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即S五边形ABCDE12(46)312(26)327，高h6，则该柱体的体积VS五边形ABCDEh162.故选B第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航2(2018年新课标)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过
3、直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 2 B12 C8 2 D10【答案】B【解析】设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，由题意可得4R28，解得R2，则该圆柱的表面积为(2)222 22 212.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航3(2019年新课标)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF90，则球O的体积为()A8 6 B4 6 C2 6 D 6【答案】D第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】由PAPBPC
4、，ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥PABC为正三棱锥，则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心，连接BO并延长，交AC于点G，则ACBG.又POAC，POBGO，可得AC平面PBG，则PBAC.因为E，F分别是PA，AB的中点，所以EFPB.又CEF90，即EFCE，所以PBCE.又ACCEC，所以PB平面PAC.同理可得正三棱锥PABC的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补成为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为dPA2PB2PC2 6，半径为 62，则球O的体积为436236.故选D第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航4(2019年新课标)学生到工厂
5、劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1，挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.【答案】118.8【解析】由题意得该模型体积VVABCDA1B1C1D1VOEFGH664 13 4641232 314412132(cm3)所以制作该模型所需原料的质量为1320.9118.8(g)第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航1空间几何体的表面积以三视图为载体考查几何
6、体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航2空间几何体的体积三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平
7、面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解3球体解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系
8、)，达到空间问题平面化的目的第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航例1(2017年新课标)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个面是梯形，这些梯形的面积之和为()A10 B12 C14 D16【答案】B02 热 点 题 型 空间几何体的表面积第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】由三视图画出立体图如图所示，该多面体的各个面内只有两个相同的梯形的面S梯形12(24)26，所以这两个梯形的面积之和为6212.故选B第一部分 专题讲练 高考二轮专
9、题析与练 数学(理科)返回导航简单几何体的表面积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类简单几何体的表面积计算公式，其次要掌握平面几何面积计算方法，熟记正三角形面积为 34 a2，正六边形的面积为6 34 a2.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2018年新课标)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A2 17 B2 5 C3 D2【答案】B第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】
10、该几何体的立体图如图1所示，其中圆柱的高为2，侧面展开图如图2所示AB的水平距离为底面圆周长的 14，由图可知在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为 22422 5.图1图2第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航例2(2019年上海)一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两条直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为()A1 B2 C4 D8【分析】直角三角形绕直角边旋转得到圆锥，两条直角边分别为圆锥底面圆的半径与圆锥的高【答案】B空间几何体的体积【解析】依题意V11322143，V21312223，则V1V22.故选B第一部分 专题讲练 高考
11、二轮专题析与练 数学(理科)返回导航求空间几何体体积的常用方法：(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2019年天津)已知四棱锥的底面是边长为2 的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_【答案】4第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【
12、解析】由题意可知圆柱的底面圆的半径为四棱锥底面正方形对角线的14，即等于12，圆柱的高为四棱锥高的12.如图，易得BE22，PB5，则PEPB2BE2 92.POPE2OE2 2，故圆柱的高为1.则圆柱的体积为12214.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【分析】求球体的体积需先求半径，找到外接球的球心(到各顶点距离相等的点)即可【答案】D球体例3(2019年新疆模拟)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1BC2，BAC4，则三棱柱ABCA1B1C1外接球的体积为()A12 3 B8 3 C6 3 D4 3第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理
13、科)返回导航【解析】在ABC中，BC2，BAC 4，由正弦定理可得ABC的外接圆直径为2rBCsinBAC 2sin42 2.设ABC和A1B1C1的外接圆圆心分别为O1，O2，则O1O2与三棱柱的底面垂直，取O1O2的中点O，易得点O到三棱柱各顶点的距离相等，即点O为三棱柱的外接球的球心设外接球的半径为R，则R2OA2 AA122r212(2)23，即R 3，所以体积为V43R34 3.故选D第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航研究球的表面积和体积的时候要注意利用球的大圆，把空间图形转化为平面图形来研究，并且要熟练掌握垂径定理等平面几何中圆的性质第一部分 专题讲练 高
14、考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2019年陕西模拟)已知在三棱锥PABC中，PAPBBC1，AB 2，ABBC，平面PAB平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为()A 32 B 23 C2 D3【答案】D第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】因为PAPB1，AB2，所以PAB是直角三角形，APB90.取AB的中点D，则点D是PAB的外接圆圆心取AC的中点O，由ABBC，可得ODAB.由平面PAB平面ABC，可得OD平面PAB，则可求得OPOAOB 32.又点O是直角三角形ABC斜边的中点，即为ABC的外接圆圆心，故 OAOBOC，所以O
15、POAOBOC，即点O为三棱锥PABC外接球的球心球的半径ROA32，所以球的表面积为S4R23.故选D第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航03 精 题 强 化 1如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，CD的中点，沿AE，EF，AF将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体AOEF，则四面体AOEF的体积为()A13 B 23 C12 D 56【答案】A第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】由题意得，翻折后OA，OE，OF两两垂直，则OA平面OEF，所以四面体AOEF的体积为V13SOEFOA1312OEOFOA16112
16、13.故选A第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航2已知在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD且PAB是边长为3 的正三角形，底面ABCD是边长为 3的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为()A74 B4 C7 D16【答案】C第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】因为四边形ABCD是正方形，所以BCAB又平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，BC平面ABCD，所以BC平面PAB设PAB的外接圆半径为r，由正弦定理可得2rPAsinPBA 3sin 60 2，所以r1.设四棱锥PABCD的外接球的半径为R，所以R2r2 B
17、C221232274.因此，该四棱锥的外接球的表面积为4R27.故选C第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航3如图所示，图中阴影部分为直角梯形挖掉 14 个圆后的剩余部分(单位：cm)，则图中的阴影部分绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为_cm3.【答案】1403【解析】由圆台和球的体积公式，得V圆台 13(AD2AD2BC2 BC2)AB13(AD2ADBCBC2)AB13(222552)452(cm3)，V半球43AD312 43 23 12 163(cm3)，所求几何体的体积VV圆台V半球52 163 1403(cm3)第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航专题复习检测谢谢观看
