1、课时提升作业 四绝对值三角不等式一、选择题(每小题6分,共18分)1.已知|x-m|,|y-n|,则|4x+2y-4m-2n|小于()A.B.2C.3D.【解析】选C.|4x+2y-4m-2n|=|4(x-m)+2(y-n)|4|x-m|+2|y-n|4+2=3.【补偿训练】若|x-a|h,|y-a|k,则下列不等式一定成立的是()A.|x-y|2hB.|x-y|2kC.|x-y|h+kD.|x-y|h-k|【解析】选C.|x-y|=|(x-a)+(a-y)|x-a|+|a-y|h+k.2.(2016商丘高二检测)已知xR,不等式|x+1|-|x-3|a恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-
2、,4B.4,+)C.1,3D.-1,3【解析】选B.因为xR,所以|x+1|-|x-3|(x+1)-(x-3)|=4,故使不等式|x+1|-|x-3|a恒成立的实数a的取值范围为a4.3.设变量x,y满足|x-1|+|y-a|1,若2x+y的最大值是5,则实数a的值是()A.2B.1C.0D.-1【解析】选B.设点M(1,a),则满足|x-1|+|y-a|1的点(x,y)构成区域为平行四边形ABCD及其内部,如图所示:令z=2x+y,则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距,故当直线y=-2x+z过点C(2,a)时,z取得最大值为5,即4+a=5,求得a=1.二、填空题(每小题6分,共12分)
3、4.x,yR,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2,则x+y的取值范围为_.【解题指南】利用绝对值不等式及绝对值的几何意义求解.【解析】由|a|+|b|a-b|知,|x|+|x-1|x-(x-1)|=1,同理|y|+|y-1|1,又|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2,故|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,所以0x1且0y1,即0x+y2.答案:0,25.若不等式|2a-1|对一切非零实数x恒成立,则实数a的取值范围是_.【解析】=|x|+2,所以由已知得|2a-1|2,即2a-12或2a-1-2,解得-a.答案:-,三、解答题(每小题10分,共30分)6.设函数f(x)=|
4、2x-1|-|x+2|.若存在x0R,使得f(x0)+2m24m,求实数m的取值范围.【解析】f(x)=|2x-1|-|x+2|=所以f(x)min=f=-.因为存在x0R,使得f(x0)+2m2f(x)min=-,整理得:4m2-8m-50,解得-m1时,等价于a-1+a3,解得a2.所以a的取值范围是2,+).一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知h0,设命题甲:两个实数a,b满足|a-b|2h,命题乙:两个实数a,b满足|a-1|h且|b-1|h,那么()A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充分条件D.甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【解析】选B.|
5、a-b|=|(a-1)-(b-1)|a-1|+|b-1|.若有甲:|a-b|2h,不一定有乙:|a-1|h,且|b-1|a-1|+|b-1|a-1-(b-1)|=|a-b|.2.(2016济南高二检测)已知不等式|x-m|1成立的一个充分不必要条件是x,则实数m的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选B.由|x-m|1得m-1xm+1.因为不等式|x-m|1成立的一个充分不必要条件是x,则是(m-1,m+1)的子集,即解得-m.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016九江高二检测)已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.若存在实数x,使得不等式f(x)a成立,则实数a的取值范围为_
6、.【解析】由不等式性质可知f(x)=|x-3|-|x-a|(x-3)-(x-a)|=|a-3|,所以若存在实数x,使得不等式f(x)a成立,则|a-3|a,解得a,所以实数a的取值范围是.答案:4.(2016济南高二检测)以下三个命题:若|a-b|1,则|a|b|+1;若a,bR,则|a+b|-2|a|a-b|;|x|3,则.其中正确命题的序号为_.【解析】因为|a|-|b|a-b|1,所以|a|b|+1,故正确;因为|a+b|-2|a|=|a+b|-|2a|(a+b)-2a|=|a-b|,故正确;显然正确.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015南昌高二检测)设不等式-2|x
7、-1|-|x+2|0的解集为M,a,bM,证明:.【证明】记f(x)=|x-1|-|x+2|=由-2-2x-10,解得-x,则M=.因为a,bM,所以|a|,|b|,所以|a|+|b|+=.【拓展延伸】含绝对值不等式的证明证明含有绝对值的不等式,其思路主要有两条:(1)恰当地运用|a|-|b|ab|a|+|b|进行放缩,并注意不等号的传递性及等号成立的条件.(2)把含绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式,再利用比较法、综合法及分析法等进行证明,其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法或分类讨论法.6.对于任意的实数a(a0)和b,不等式|a+b|+|a-b|M|a|恒成立,记实数M的最大值是m,求m的值.【解析】不等式|a+b|+|a-b|M|a|恒成立,即M对于任意的实数a(a0)和b恒成立,即左边恒小于或等于右边的最小值.因为|a+b|+|a-b|(a+b)+(a-b)|=2|a|,当且仅当(a-b)(a+b)0时等号成立,即|a|b|时,等号成立,也就是的最小值是2.所以m=2.
