1、第二章平面解析几何2.5椭圆及其方程2.5.1椭圆的标准方程课后篇巩固提升必备知识基础练1.若椭圆C:x25+y2m=1的一个焦点坐标为(-1,0),则实数m的值为()A.9B.6C.4D.1答案C解析因为椭圆的焦点(-1,0)在x轴上,所以a2=5,b2=m,所以c2=a2-b2=5-m,即5-m=1,解得m=4.2.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(3,0),点(0,-3)在椭圆上,则椭圆的方程为()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1答案D解析由题意可得a2-b2=9,0+9b2=1,解得a2=18,b
2、2=9,故椭圆的方程为x218+y29=1.3.如果方程x24-m+y2m-3=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是()A.(3,4)B.72,+C.3,72D.72,4答案D解析因为方程x24-m+y2m-3=1表示焦点在y轴上的椭圆,所以4-m0,m-30且m-34-m,解得72mb0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.线段D.直线答案B解析设椭圆的右焦点为F2,由题意,知|PO|=12|MF2|,|PF1|=12|MF1|,又|MF1|+|MF2|=2a,所以|PO|+|PF1|=a|F1O|=c,故由椭圆的定义,知P点的轨迹
3、是椭圆.5.已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=23,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|,则椭圆C的标准方程为()A.x212+y29=1B.x212+y29=1或x29+y212=1C.x29+y212=1D.x248+y245=1或x245+y248=1答案B解析由已知2c=|F1F2|=23,所以c=3.因为2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=43,所以a=23,所以b2=a2-c2=9.故椭圆C的标准方程是x212+y29=1或x29+y212=1.6.椭圆x212+y23=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,若线段PF1的中点M在y轴上
4、,则点M的纵坐标为()A.34B.22C.32D.34答案D解析线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点,OM为PF1F2的中位线,PF2x轴,点P的横坐标是3或-3,点P在椭圆上,912+y23=1,即y2=34,y=32.点M的纵坐标为34.7.已知F1,F2为椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点,点P在椭圆C上,F1PF2=60,则|PF1|PF2|=.答案43解析由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=4,利用余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60=|F1F2|2,所以(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|PF2|=|F1F2|2=12,解得
5、3|PF1|PF2|=4,即|PF1|PF2|=43.8.已知椭圆x225+y29=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是.答案4解析设椭圆的另一个焦点为E,则|MF|+|ME|=10,又|MF|=2,|ME|=8,又ON为MEF的中位线,|ON|=12|ME|=4.9.求满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2);(2)ca=513,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解(1)由焦距是4可得c=2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义知,2a=32+(2+2)2+32+(2-2)2=8,所
6、以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为y216+x212=1.(2)由题意知,2a=26,即a=13,又ca=513,所以c=5,所以b2=a2-c2=132-52=144,因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为x2169+y2144=1或y2169+x2144=1.10.已知椭圆M与椭圆N:x216+y212=1有相同的焦点,且椭圆M过点-1,255.(1)求椭圆M的标准方程;(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且PF1F2的面积为1,求点P的坐标.解(1)由题意,知椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0),设椭圆
7、M的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则a2-b2=4,1a2+45b2=1,化简并整理得5b4+11b2-16=0,故b2=1或b2=-165(舍),a2=5,故椭圆M的标准方程为x25+y2=1.(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),则PF1F2的面积为124|y0|=1,得y0=12.又x025+y02=1,所以x02=154,x0=152,所以点P有4个,它们的坐标分别为152,12,-152,12,152,-12,-152,-12.关键能力提升练11.如图,已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,B
8、在x轴上,ABF2是直角三角形,且|BF1|=|F1F2|,O为坐标原点,若点O到直线AB的距离为32,则椭圆C的方程为()A.x216+y29=1B.x24+y23=1C.x24+y2=1D.x25+y24=1答案B解析因为ABF2是直角三角形,且|BF1|=|F1F2|,所以AF1F2是等边三角形,设|F1F2|=2c,则a=2c,所以直线AB的方程为x-3c+yb=1,即bx-3cy+3bc=0,所以点O到直线AB的距离为3bcb2+9c2=32,又因为a2=b2+c2,所以联立,解得a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程为x24+y23=1.12.设定点F1(0,-3),F2(0,3),
9、动点P满足条件|PF1|-a=9a-|PF2|(a0),则点P的轨迹是()A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段答案D解析由题意得,|PF1|-a=9a-|PF2|(a0),所以|PF1|+|PF2|=a+9a2a9a=6,当且仅当a=9a时取等号,此时a=3,则|PF1|+|PF2|6,因为定点F1(0,-3),F2(0,3),所以|F1F2|=6,当|PF1|+|PF2|=6时,点P的轨迹是线段F1F2;当|PF1|+|PF2|6时,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.13.(多选)设P是椭圆C:x22+y2=1上任意一点,F1,F2是椭圆C的左、右焦点,则()A.|PF1|+|PF2
10、|=22B.-2|PF1|-|PF2|AC|=4,点P的轨迹E是以A,C为焦点的椭圆,其中c=2,a=3,b=5,椭圆方程为y29+x25=1.17.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,P在椭圆上,且PF1F2的面积为22b2,求cosF1PF2的值.解依题意可得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=4a2,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cosF1PF2=4c2,整理得|PF1|PF2|=2b21+cosF1PF2.PF1F2的面积为22b2,122b21+cosF1PF2sinF1PF2=22b2,1+cosF1
11、PF2=2sinF1PF2,又sin2F1PF2+cos2F1PF2=1,cosF1PF2=13(cosF1PF2=-1舍去).18.已知x轴上一定点A(1,0),Q为椭圆x24+y2=1上任意一点,求AQ的中点M的轨迹方程.解设中点M的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x0,y0),利用中点公式,得x=x0+12,y=y02,所以x0=2x-1,y0=2y.因为Q(x0,y0)在椭圆x24+y2=1上,所以x024+y02=1.将x0=2x-1,y0=2y代入上式,得(2x-1)24+(2y)2=1.故所求AQ的中点M的轨迹方程是x-122+4y2=1.学科素养拔高练19.如图,椭圆C:x2a
12、2+y2b2=1(ab0)经过点M43,13,且点M到椭圆的两焦点的距离之和为22.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若R,S是椭圆C上的两个点,线段RS的中垂线l的斜率为12且直线l与RS交于点P,O为坐标原点,求证:P,O,M三点共线.(1)解点M到椭圆的两焦点的距离之和为22,2a=22,解得a=2.又椭圆C经过点M43,13,432a2+132b2=1,解得b2=1.椭圆C的标准方程为x22+y2=1.(2)证明线段RS的中垂线l的斜率为12,直线RS的斜率为-2,可设直线RS的方程为y=-2x+m.联立y=-2x+m,x22+y2=1,得9x2-8mx+2m2-2=0.设点R(x1,y1),S(x2,y2),P(x0,y0),x1+x2=8m9,y1+y2=-2x1+m-2x2+m=-2(x1+x2)+2m=-28m9+2m=2m9,则x0=x1+x22=4m9,y0=y1+y22=m9.y0x0=14,y0=14x0,点P在直线y=14x上,又点O(0,0),M43,13也在直线y=14x上,P,O,M三点共线.
