1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.2.掌握等比数列前n项和的性质的应用.3.通过公式推导,提高数学建模意识,提高数学运算能力和数据分析素养.自主预习 新知导学一、等比数列的前n项和公式【问题思考】1.对于数列1,2,22,23,2n,.(1)该数列的首项和公比分别是多少?提示:首项为1,公比为2.(2)把该数列的前n项和Sn=1+2+22+2n两边同乘公比2,得2Sn=2+22+23+2n+1,这两个等式的右边有何相同点?若用式减去式,会有什么结果?提示:式右边从第2项到第n项分别与式右边从第1项到第n-1项
2、相等,若用式减去式会把这些相同的项全部消掉,求得Sn=2n+1-1.(3)对和式Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1(q1)按问题(2)的方法处理会怎样呢?提示:Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,qSn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn,-得(q-1)Sn=a1(qn-1),2.填空:等比数列的前n项和公式3.做一做:已知等比数列an的公比q=2,首项a1=2,则Sn等于()A.n2+nB.n2-nC.2n+1-2D.2n-1 答案:C 二、等比数列前n项和的性质【问题思考】1.在等差数列an中,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成等差数列吗?提示:成等差数列.2.若数列
3、an为等比数列,则a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比数列吗?(a1+a20)提示:因为a3+a4=q2(a1+a2),a5+a6=q2(a3+a4),所以a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比数列.3.若数列an为等比数列,则a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9成等比数列吗?提示:成等比数列.4.仿照问题1,在等比数列an中,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,是否成等比数列?(Sk0)提示:成等比数列.5.填空:若数列an是公比为q的等比数列,则(1)当公比q-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.(3)Sn+m=Sn+qnSm.6.做一做:已知数列an
4、是等比数列,其前n项和为Sn,若S2=2,S4=6,则S6=.解析:由题意知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,S2=2,S4-S2=4,S6-S4=8,S6=8+S4=14.答案:14【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“”,错误的画“”.(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为Sn=na.()(3)若等比数列an共2n项,其中奇数项的和为240,偶数项的和为120,则该等比数列的公比q=2.()(4)在等比数列an中,连续相同项数的和也成等比数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,仍成等比数列.()合作探究 释疑解惑探究一等比数列前n项和的
5、有关计算【例1】设数列an是等比数列,Sn是其前n项和.(1)若a1+a3=10,a4+a6=,求a4和S5;(2)若q=2,S4=1,求S8.(2)设首项为a1.反思感悟 关键求出首项与公比,利用前n项和公式运算即可,特别注意当q=1时的情形.【变式训练1】(1)设首项为1,公比为 的等比数列an的前n项和为Sn,则()A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an(2)在等比数列an中,若a1=1,an=243,q=3,则Sn=.答案:(1)D(2)364探究二等比数列基本量的求解【例2】(1)已知数列an的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=2an(n
6、N*),则S5等于()A.30B.31C.62D.64(2)已知等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn,若 ,则a8的值是()A.28B.32C.35D.41(3)在等比数列an中,a3=7,前3项和S3=21,则其公比q的值为()(3)(方法一)当公比q=1时,a3=a1=7,S3=3a1=21成立;答案:(1)C(2)B(3)A 反思感悟 1.Sn=(q1)为等比数列的求和公式,其中涉及a1,an,Sn,n,q五个量,通常已知其中三个,即可求另外两个,方法是解方程组,这也是等比数列的基本问题.q=1,则数列为非零常数列,因此在进行等比数列的前n项求和计算时需要对公比q是否为1进行讨论
7、.在本例(1)中,其他条件不变,若Sn=126,则n=.解析:由an+1=2an可知数列an为等比数列,且公比q=2,由Sn=126知2n+1=128,故n+1=7,n=6.答案:6【变式训练2】设等比数列an的前n项和为Sn,若a1+a3=5,a2+a4=10,则S5=()A.15B.16C.31D.32解析:设等比数列an的公比为q,a1+a3=5,a2+a4=10,q(a1+a3)=5q=10,a1(1+q2)=5,答案:C 探究三等比数列前n项和的性质及应用【例3】(1)设等比数列an的前n项和为Sn,若S3=7,S6=63,则S9等于()A.255B.511C.512D.567(2)
8、在等比数列an中,公比q=3,S80=32,则a2+a4+a6+a80=.(3)已知等比数列an共2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=.解析:(1)S3=7,S6=63,由等比数列的性质得S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,即7,56,S9-63成等比数列,562=7(S9-63),解得S9=511.答案:(1)B(2)24(3)2 反思感悟 等比数列前n项和的常用性质(1)项的个数的“奇偶”性质:在等比数列an中,公比为q.【变式训练3】已知等比数列an的前n项和为Sn,S5=2,S10=6,则a16+a17+a18+a19+a20=.解析:设等比数列an的
9、公比为q,S5=2,S10=6,a1+a2+a3+a4+a5=2,a6+a7+a8+a9+a10=q5(a1+a2+a3+a4+a5)=4,q5=2.a16+a17+a18+a19+a20=q15(a1+a2+a3+a4+a5)=232=16.答案:16【易错辨析】在求Sn的过程中忽略对公比q的讨论致错【典例】已知等比数列an中,其前n项和为Sn,a1=2,S3=6,求a3和q.错解:由等比数列的前n项和公式,故a3=a1q2=2(-2)2=8.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:在上面的求解过程中,没有讨论公比q是否为1,就直接使用了等比数列的前n项和
10、公式Sn=,从而出现漏解情况.正解:若q=1,则S3=3a1=6,符合题意.此时,q=1,a3=a1=2.若q1,则由等比数列的前n项和公式,解得q=1(舍去)或q=-2.此时,a3=a1q2=2(-2)2=8.综上所述,a3=2,q=1或a3=8,q=-2.防范措施 在求等比数列的前n项和Sn时,如果不明确q的具体情况,那么不能直接套用前n项和公式,要记住对q=1和q1进行讨论.【变式训练】在等比数列an中,a3=4,S3=12,求数列an的通项公式.解:当q=1时,a3=4,a1=a2=a3=4,S3=a1+a2+a3=12,故q=1符合题意.an=4.随堂练习1.设an是公比为正数的等比
11、数列,若a1=1,a5=16,则数列an的前7项的和为()A.63B.64C.127D.128解析:a5=a1q4,q=2.q0,q=2,答案:C 2.已知等比数列an的前n项和为Sn,若S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于()解析:设公比为q,S3=a2+10a1,a5=9,答案:C 3.若数列(-1)n+2的前n项和为Sn,则S2 019=.解析:由题知,数列(-1)n+2的首项为-1,公比为-1,S2 019=-1.答案:-14.若等比数列an满足a1=4,a2=20,则an的前n项和Sn=.解析:等比数列an满足a1=4,a2=20,答案:5n-1 5.(1)设等比数列an的前n项和为Sn,已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.当a1=3,q=2时,an=32n-1,Sn=3(2n-1);当a1=2,q=3时,an=23n-1,Sn=3n-1.(2)设等比数列的公比为q.由已知S62S3,则q1.,得1+q3=9,解得q=2.将q=2代入,解得a1=.因此an=a1qn-1=2n-2.
