1、排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1排列与排列数(1)排列：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，_，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(2)排列数：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的_叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作.按照一定的顺序排第二节排列与组合成一列所有不同排列的个数Amn排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2组合与组合数(1)组合：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个
2、元素的一个(2)组合数：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的，记作.组合组合数Cmn排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 3排列数、组合数的公式及性质排列数组合数公式性质Ann；0！C0n；Cmn；CmnCm1nCmn1备注n，mN*且 mnn(n 1)(n 2)(nm1)nn1nm1m！n！11CnmnCmnAmnAmmn！m！nm！Amnn！nm！排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 小题体验1从 3,5,7,11
3、 这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为 a，b，共可得到 lg alg b 的不同值的个数是()A6 B8C12 D16解析：由于 lg alg blg ab，从 3,5,7,11 中取出两个不同的数分别赋值给 a 和 b 共有 A2412 种，所以得到不同的值有 12 个答案：C 排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2(教材习题改编)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙两人所选的课程中恰有 1 门相同的选法有_种解析：依题意得知，满足题意的选法共有 C14C13C1224 种答案：24排列与组合 结 束 课 前 双 基
4、 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 3(教材习题改编)已知 1Cm5 1Cm6 710Cm7，则 m_.解析：由已知得 m 的取值范围为m|0m5，mZ，原等式可化为m！5m！5！m！6m！6！77m！m！107！，整理可得 m223m420，解得 m21(舍去)或 m2.答案：2排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关2计算 Amn时易错算为 n(n1)(n2)(nm)3易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数
5、是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 小题纠偏1方程 3A3x2A2x16A2x的解为_解析：由排列数公式可知3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)，x3 且 xN*，3(x1)(x2)2(x1)6(x1)，即 3x217x100，解得 x5 或 x23(舍去)，x5.答案：5排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为_(用
6、数字作答)解析：法一：依题意可得有两类选派方案：1 名女生 3 名男生或2名女生2名男生，共有C12C34C22C248614(种)满足要求的方案法二：6 人中选 4 人的方案有 C4615 种，没有女生的方案只有 1 种，所以满足要求的方案有 14 种答案：14排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点一 排列问题典例引领有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数(1)选 5 人排成一排；(2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
7、(5)全体排成一排，男生互不相邻排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 解：(1)从 7 人中选 5 人排列，有 A57765432 520(种)(2)分两步完成，先选 3 人站前排，有 A37种方法，余下 4 人站后排，有 A44种方法，共有 A37A445 040(种)(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有 5 种方法，其余 6 人有 A66种排列方法，共有 5A663 600(种)法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人，有 A26种排法，其他有 A55种排法，共有 A26A553 600(种)(4)(捆绑法)将女生看
8、作一个整体与 3 名男生一起全排列，有 A44种方法，再将女生全排列，有 A44种方法，共有 A44A44576(种)(5)(插空法)先排女生，有 A44种方法，再在女生之间及首尾 5 个空位中任选 3 个空位安排男生，有 A35种方法，共有 A44A351 440(种)排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 由题悟法求解排列应用问题的 6 种主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将
9、不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 即时应用1(2017东北四市联考)甲、乙两人要在一排 8 个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有()A10 种 B16 种C20 种D24 种解析：一排共有 8 个座位，现有两人就坐，故有 6 个空座要求每人左右均有空座，在 6 个空座的中间 5 个空中插入 2 个座位让两人就坐，即有 A2520(种)坐法答案：C 排列与组合 结 束
10、 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A324 B648C328 D360解析：首先应考虑“0”，当 0 排在个位时，有 A299872(个)，当 0 排在十位时，有 A14A184832(个)当不含 0 时，有A14A28487224(个)，由分类加法计数原理，得符合题意的偶数共有 7232224328(个)答案：C 排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 3用 1,2,3,4 这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数
11、夹在两个奇数之间的四位数的个数为_解析：(捆绑法)首先排两个奇数 1,3 有 A22种排法，再在 2,4 中取一个数放在 1,3 排列之间，有 C12种方法，然后把这 3 个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有 A22种排法，即满足条件的四位数的个数为 A22C12A228.答案：8排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点二 组合问题解：(1)任选 3 名男运动员，方法数为 C36，再选 2 名女运动员，方法数为 C24，共有 C36C24120(种)方法典例引领某运动队有男运动员 6 名，女运动员 4 名，若选派 5 人外出比赛，
12、在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员 3 名，女运动员 2 名；(2)至少有 1 名女运动员排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)法一：(直接法)至少 1 名女运动员包括以下几种情况：1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男，由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46C24C36C34C26C44C16246(种)法二：(间接法)“至少有 1 名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有 C510C56246(种)排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破
13、课 后 三 维 演 练 由题悟法1解决组合应用题的 2 个步骤(1)整体分类要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理；(2)局部分步用到分步乘法计数原理2解决含有附加条件的组合问题的 2 种方法通常用直接法或间接法，应注意对“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解，对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研究进行直接求解排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 即时应用1若从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60 种 B63 种C65 种D6
14、6 种解析：9 个整数中共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数，要使和为偶数，则 4 个数全为奇数，或全为偶数，或 2 个奇数和 2 个偶数，故不同的取法有 C45C44C25C2466(种)答案：D 排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2(2016南昌模拟)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有()A30 种B36 种C60 种D72 种解析：甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门有 C24C2436(种)选法，甲、乙所选的课程中完全相同的选法有 6 种，则甲、乙所选的课程中至
15、少有 1 门不相同的选法共有 36630(种)答案：A排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 3现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为_解析：第一类，含有 1 张红色卡片，不同的取法有 C14C212264(种)第二类，不含有红色卡片，不同的取法有 C3123C3422012208(种)由分类加法计数原理知，不同的取法共有 264208472(种)答案：472排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突
16、破 课 后 三 维 演 练 考点三 排列、组合的综合应用排列与组合是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题常见的命题角度有：(1)简单的排列与组合的综合问题；(2)分组、分配问题 锁定考向排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 题点全练角度一：简单的排列与组合的综合问题1(2016河南省八市重点高考质量检测)将标号为 1,2,3,4 的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号 1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为()A15 B20C30 D42解析：四个篮球中两
17、个分到一组有 C24种分法，三个篮球进行全排列有 A33种分法，标号 1,2 的两个篮球分给同一个小朋友有A33种分法，所以有 C24A33A3336630 种分法答案：C 排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 角度二：分组、分配问题2(2017广州市五校联考)将 5 位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这 3 所大学就读，每所大学至少保送 1 人，则不同的保送方法共有()A150 种B180 种C240 种D540 种解析：先将 5 人分成三组，3,1,1 或 2,2,1，共有 C35C15C24C222！25(种)，再将每组
18、学生分到 3 所学校有 A336 种分法，共有256150(种)不同的保送方法答案：A 排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 通法在握1解决简单的排列与组合的综合问题的思路(1)根据附加条件将要完成事件先分类(2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列(3)由分类加法计数原理计算总数排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2分组、分配问题的求解策略(1)对不同元素的分配问题对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以 Ann(n 为
19、均分的组数)，避免重复计数对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有 m 组元素个数相等，则分组时应除以 m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数(2)对于相同元素的“分配”问题，常采用的方法是“隔板法”排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 演练冲关1某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组，现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一
20、人报名，则不同的报名方法有()A12 种B24 种C36 种D72 种解析：由题意可知，从 4 人中任选 2 人作为一个整体，共有 C246(种)，再把这个整体与其他 2 人进行全排列，对应 3 个活动小组，有 A336(种)情况，所以共有 6636(种)不同的报名方法答案：C 排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有()A12 种B10 种C9 种D8 种解析：将 4 名学生均分为 2 个小组共有C
21、24C22A22 3(种)分法；将 2 个小组的同学分给 2 名教师共有 A222(种)分法，最后将 2 个小组的人员分配到甲、乙两地有 A222(种)分法故不同的安排方案共有 32212(种)答案：A 排列与组合 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 3(2017福建漳州八校第二次联考)若无重复数字的三位数满足条件：个位数字与十位数字之和为奇数，所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是()A540 B480C360 D200解析：由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字 1奇 1 偶，有 C15C15A2250(种)排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有 C144(种)满足题意的选法，故满足题意的三位数共有 504200(个)答案：D
