1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式及其应用.3.能灵活应用等差数列前n项和的性质解题.4.培养逻辑推理能力,提升数学建模和数学运算素养的能力.自主预习 新知导学等差数列的前n项和公式【问题思考】1.如图,某仓库堆放的一堆钢管,最上面的一层有4根钢管,下面的每一层都比上一层多一根,最下面的一层有9根.这堆钢管共有几层?图形的横截面是什么形状?这堆钢管共有多少根?提示:这堆钢管共有6层,图形的横截面是等腰梯形.在这堆钢管的旁边再倒放上同样的一堆钢管,如图所示.则这样共有钢管(4+9)6
2、=78(根),2.请同学们交流一下,怎样求1+2+3+100的结果?提示:对于这个问题,把加数倒序写一遍,S=100+99+98+2+1.则有2S=(1+100)+(2+99)+(99+2)+(100+1)=100101,故S=50101=5 050.3.你能用上述计算方法求1+2+3+n的值吗?提示:设Sn=1+2+3+(n-1)+n,又Sn=n+(n-1)+(n-2)+2+1,4.我们把上述这种计算方法称为倒序求和法.你能用这种方法推得等差数列an的前n项和Sn吗?提示:Sn=a1+a2+a3+an-1+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+a1+(n-2)d+a1+(n-1)d,5.
3、问题4中求出的Sn是已知等差数列的首项、末项与项数时求前n项和Sn的公式,如果用an=a1+(n-1)d替换末项,那么问题4中求出的Sn会变形为怎样的形式呢?提示:Sn=na1+n(n-1)d.6.填空:等差数列的前n项和公式7.做一做:已知数列an为等差数列,首项a1=2,公差d=2,则其前n项和Sn=.Sn=2n+n(n-1)=n2+n.答案:n2+n【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“”,错误的画“”.(1)求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法.()(2)在等差数列中涉及a1,d,n,an,Sn五个量,利用方程思想可以“知三求二”.()(3)在等差数列an中,
4、若a1=3,d=2,则S10=120.()(4)若已知数列an的首项a1及末项an,用公式Sn=可以求前n项和.()合作探究 释疑解惑探究一等差数列前n项和的计算【例1】根据下列条件求等差数列的前n项和.(1)a1=1,a10=21,n=10;(2)a1=100,d=-2,n=50;(3)a1=2,an=32,d=2.【变式训练1】(1)设等差数列an的前n项和为Sn,若公差d=3,a6=8,则S10的值为()A.65B.62C.59D.56(2)在等差数列an中,若a6,a7是方程x2+3x-1=0的两根,则an的前12项的和为()A.6B.18C.-18D.-6解析:(1)因为a6=a1+
5、53=8,所以a1=-7,(2)因为在等差数列an中,a6,a7是方程x2+3x-1=0的两根,所以a6+a7=-3,答案:(1)A(2)C 探究二与Sn有关的基本量的计算【例2】已知数列an是等差数列,(1)若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求公差d;(2)若a2+a5=19,S5=40,求a10;(3)若a4=9,a9=-6,Sn=63,求n的值.(2)(方法一)设数列an的公差为d,所以a10=a1+9d=29.(方法二)设数列an的公差为d,由S5=5a3=40,得a3=8.所以a2+a5=a3-d+a3+2d=2a3+d=16+d=19,得d=3.所以a10=a3+7d
6、=8+37=29.解得n=6或n=7.反思感悟 a1,n,d称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,n,d,an,Sn中可知三求二,一般是通过通项公式和前n项和公式列出关于基本量a1和d的方程(组)求解,这种方法是解决数列问题的基本方法.在具体求解过程中应注意整体代换思想的运用,以便简化计算.例2(3)改为“在等差数列an中,a4=9,a9=-6,求S6”.解:设等差数列an的首项为a1,公差为d,【变式训练2】已知等差数列an中,(2)若S12=84,S20=460,求an;(3)若S5=24,求a2+a4.(2)(方法一)设数列an的公差为d,故an=a
7、1+(n-1)d=-15+4(n-1)=4n-19.(方法二)设Sn=an2+bn,S12=84,S20=460,当n2时,an=Sn-Sn-1=2n2-17n-2(n-1)2+17(n-1)=4n-19,又当n=1时,S1=a1=2-17=-15=41-19,an=4n-19.(3)(方法一)设等差数列的首项为a1,公差为d,则探究三等差数列前n项和公式的应用当n2时,an=Sn-Sn-1=-3n+104,由n=1也适合上式,得数列an的通项公式为an=-3n+104(nN*).当n35时,Tn=|a1|+|a2|+|a34|+|a35|+|an|=(a1+a2+a34)-(a35+a36+
8、an)=2(a1+a2+a34)-(a1+a2+an)=2S34-Sn反思感悟 求数列|an|的前n项和需注意以下问题(1)给出数列an,要求数列|an|的前n项和,关键是分清n取什么值时an0或an0.(2)当an的各项都为非负数时,|an|的前n项和等于an的前n项和;当an的各项都为非正数时,|an|的前n项和等于an的前n项和的相反数;当an的某些项为正,某些项为负时,要对n进行分类讨论,转化为an的前n项和求解,其结果用分段函数表示.【变式训练3】在等差数列an中,a1=-60,a17=-12,求数列|an|的前n项和.故an=a1+(n-1)d=-60+3(n-1)=3n-63.令
9、an0,即3n-630,n21,得等差数列an的前20项是负数,第20项以后的项是非负数.设Sn和Sn分别表示数列an和|an|的前n项和.【易错辨析】忽略Sn与an的关系致错【典例】已知数列an的前n项和Sn=n2+n-1,试判断an是否为等差数列,为什么?错解:an=Sn-Sn-1=(n2+n-1)-(n-1)2+(n-1)-1=2n.又an-an-1=2n-2(n-1)=2,即数列an的每一项与前一项的差是同一个常数,所以an是等差数列.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:用公式an=Sn-Sn-1时,要求n2,忽视了这一条件而不去验证n=1的情况
10、从而导致判断错误.正解:当n2时,an=Sn-Sn-1=(n2+n-1)-(n-1)2+(n-1)-1=2n;当n=1时,a1=S1=1,不符合上式.数列an不是等差数列.防范措施 已知数列的前n项和Sn求数列的通项公式时,需分类讨论,即分n=1与n2两种情况;当n=1满足an的式子时,才能用同一个式子来表达,否则必须分段表示.【变式训练】已知数列an的各项均为正数,其前n项和Sn满足Sn=(an+1)2,求an的通项公式.整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0.由an+an-10,知an-an-1=2.则an是以a1=1为首项,2为公差的等差数列,故an=2n-1.随堂练习1.在等差数列an中,已知a1=3,d=2,则S10等于()A.120B.240C.180D.280答案:A2.设Sn是等差数列an的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:a2+a6=a1+a7=14,答案:C 3.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a5=12,则S9=.解析:由等差数列的性质可得a1+a9=2a5.答案:1084.已知an是等差数列,a1+a3+a5=9,a6=9,求此数列前10项的和.解:设数列an的公差为d.a1+a3+a5=3a3=9,
