1、函数性质的综合应用题型一函数的单调性与奇偶性例1(1)(2020新高考全国)若定义在R上的奇函数f(x)在(，0)上单调递减，且f(2)0，则满足xf(x1)0的x的取值范围是()A1,13，)B3，10,1C1,01，)D1,01,3答案D解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)0.又f(x)在(，0)上单调递减，且f(2)0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x1)的大致图象如图(2)所示(1)(2)当x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0，得1x0.当x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0，得1x3.故满足xf(x1)0的x的取值范围是1,01,
2、3(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，对于任意两个正数x1，x2(x1x1f(x2)记a25f(0.22)，bf(1)，clog53，则a，b，c的大小关系为()AabcBacbCbcaDcba答案A解析构造函数g(x)，函数g(x)的定义域为x|x0，函数f(x)为R上的奇函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)，则函数g(x)为偶函数，对于任意两个正数x1，x2(x1x1f(x2)，则，即g(x1)g(x2)，则函数g(x)在(0，)上单调递减，a25f(0.22)fg，bf(1)g(1)，clog53f(log35)g(log35)，log35log331，则g(log35)g(1
3、)bc.思维升华(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x)f(h(x)，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小跟踪训练1(2022南京质检)已知函数f(x)xx3，x1，x2，x3R，且x1x20，x2x30，x3x10，则f(x1)f(x2)f(x3)的值()A一定大于零B一定小于零C等于零D正负都有可能答案B解析函数f(x)的定义域为R，又f(x)(x)(x)3xx3f(x)，所以函数f(x)是R上的奇函数，由单调性的运算性质可知，函数f(
4、x)是R上的减函数，因为x1x20，x2x30，x3x10，即x1x2，x2x3，x3x1，所以f(x1)f(x2)，f(x2)f(x3)，f(x3)f(x1)，即f(x1)f(x2)，f(x2)f(x3)，f(x3)f(x1)，所以f(x1)f(x2)0，f(x2)f(x3)0，f(x3)f(x1)0，三式相加可得f(x1)f(x2)f(x3)0(x1x2)恒成立则f，f(4)，f的大小关系正确的是()Aff(4)fBf(4)ffCff(4)fDfff(4)答案C解析由f(x1)f(x)可得f(x2)f(x1)f(x)，所以f(x)的周期为2，因为f(x2)为奇函数，所以f(x)为奇函数，因
5、为当x0,1)时，0，所以f(x)在0,1)上单调递增，因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(1,0)上单调递增，所以f(x)在(1,1)上单调递增，因为fff，f(4)f(422)f(0)，fff，所以ff(0)f，即ff(4)f.题型三函数的奇偶性与对称性例3(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点(1，0)成中心对称的是()Ay(x1)f(x1)By(x1)f(x1)Cyxf(x)1Dyxf(x)1答案B解析构造函数g(x)xf(x)，该函数的定义域为R，所以g(x)xf(x)xf(x)g(x)，函数g(x)为奇函数，故函数g(x)的图象的对称中心为原点函数y(
6、x1)f(x1)的图象可在函数g(x)的图象上向左平移1个单位长度，故函数y(x1)f(x1)图象的对称中心为(1,0)(2)(2022扬州模拟)写出一个满足f(x)f(2x)的偶函数f(x)_.答案cosx(常数函数也可，答案不唯一)解析取f(x)cosx，证明过程如下：f(x)cosx的定义域为R，由f(x)cos(x)cosxf(x)，故f(x)为偶函数，又f(2x)cos(2x)cos(2x)cosxf(x)思维升华由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等跟踪训练3定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(2,0)对称，且f(x)在0,2)上单调递增，则()Af
7、(11)f(12)f(21)Bf(21)f(12)f(11)Cf(11)f(21)f(12)Df(21)f(11)f(12)答案A解析函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，f(x4)f(x)，又f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(x4)f(x)，即函数f(x)的周期是4，则f(11)f(1)，f(12)f(0)，f(21)f(1)，f(x)为奇函数，且在0,2)上单调递增，则f(x)在(2,2)上单调递增，f(1)f(0)f(1)，即f(11)f(12)f(21)题型四函数的周期性与对称性例4(1)(2022重庆模拟)已知函数f(x)满足：f(x2)的图象关于直线x2
8、对称，且f(x2)，当2x3时，f(x)log2，则f的值为()A2B3C4D6答案B解析因为f(x2)的图象关于直线x2对称，所以f(x)的图象关于直线x0对称，即函数f(x)为偶函数，因为f(x2)，所以函数f(x)是周期函数，且T4，所以fffffflog23.(2)(多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x3对称且f(x3)f(x3)，当x0,3时，f(x)2x2x11，则下列结论正确的是()Af(x)为偶函数Bf(x)在6，3上单调递减Cf(x)的图象关于直线x3对称Df(2023)7答案ACD解析对于A，因为f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x3对称，所以f(x3
9、)f(x3)，又f(x3)f(x3)，所以f(x3)f(x3)，所以f(x3)3)f(x3)3)，即f(x)f(x)，所以函数为偶函数，故A正确；对于B，因为f(x3)f(x3)，所以f(x3)3)f(x3)3)，即f(x6)f(x)，所以函数是周期为6的周期函数，当x6，3时，x60,3，因为当x0,3时，f(x)2x2x11，函数在0,3上单调递增，所以当x6，3时，f(x)f(x6)2x62(x6)11，函数在6，3上单调递增，故B错误；对于C，因为f(x)f(x)，且f(x)的周期为6，所以f(x3)f(x3)f(3x)f(x3)，所以f(x)的图象关于直线x3对称，故C正确；对于D，
10、f(2023)f(33761)f(1)，又x0,3时，f(x)2x2x11，所以f(2023)f(1)2121117，故D正确思维升华函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题跟踪训练4已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x4)f(x)，若函数f(x1)的图象关于直线x1对称，f(1)2，则f(2025)_.答案2解析由函数yf(x1)的图象关于直线x1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数又由f(x
11、4)f(x)，得f(x44)f(x4)f(x)，f(x)是周期为8的偶函数f(2025)f(12538)f(1)f(1)2.课时精练1(2022荆门模拟)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)的周期为2，在1,0上单调递增，那么f(x)在1,3上()A单调递增B单调递减C先增后减D先减后增答案C解析函数f(x)的周期为2，且f(x)在1,0上单调递增且为偶函数，函数f(x)在0,1上单调递减，函数f(x)在1,3上先增后减2已知函数f(x)x22|x|5.若af(log25)，bf(20.8)，cf，则a，b，c的大小关系为()AabcBcbaCbacDbca答案C解析根据题意知，f
12、(x)x22|x|5f(x)，则函数f(x)为偶函数，则af(log25)f(log25)，当x0时，f(x)x22x5(x1)24，在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增；又由120.82log25，则f(20.8)f(log25)0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的值为()A8B8C0D4答案B解析因为f(x4)f(x)，所以f(x)f(x4)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)的周期为8，又因为f(x)是奇函数，在0,2上单调递增，作出函数的大致图象如图所示，由图象可知f(x)m(m0)在区间8,8上的四个不同的根x1，x2，x3，x4
13、，两个关于直线x6对称，两个关于直线x2对称，所以x1x2x3x462228.6已知定义在R上的奇函数f(x)在0，)上单调递减，且对于任意的0，都有f(sin2msin)f(2m3)2Bm2Cm2Dm2答案A解析由定义在R上的奇函数f(x)在0，)上单调递减，得f(x)在(，)上单调递减，所以f(sin2msin)f(2m3)0，f(sin2msin)f(2m3)，f(sin2msin)2m3，即m对任意的0，恒成立，记2sint，t1,2，则sin2t，所以m4，因为t2，当且仅当t1时取等号，所以4的最大值为2，所以m2.7(多选)(2022运城模拟)已知偶函数f(x)满足f(x)f(2
14、x)0，下列说法正确的是()A函数f(x)是以2为周期的周期函数B函数f(x)是以4为周期的周期函数C函数f(x2)为偶函数D函数f(x3)为偶函数答案BC解析依题意知f(x)是偶函数，且f(x)f(2x)0，f(x)f(2x)f(x2)，所以A错误f(x)f(x2)f(x22)f(x4)，所以B正确f(x2)f(x24)f(x2)f(x2)f(x2)，所以函数f(x2)为偶函数，C正确若f(x3)是偶函数，则f(x3)f(x3)f(x3)，则函数f(x)是周期为6的周期函数，这与上述分析矛盾，所以f(x3)不是偶函数D错误8(多选)已知f(x)为奇函数，且f(x1)为偶函数，若f(1)0，则
15、()Af(3)0Bf(3)f(5)Cf(x3)f(x1)Df(x2)f(x1)1答案ABC解析因为函数f(x1)为偶函数，所以f(x1)f(1x)，又因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x1)f(1x)f(x1)，所以f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，所以f(x)的周期为4，又因为f(1)0，f(3)f(1)f(1)0，f(5)f(1)0，故A，B正确；f(x3)f(x34)f(x1)，所以C正确；f(2)f(24)f(2)，同时根据奇函数的性质得f(2)f(2)，所以f(2)，f(2)既相等又互为相反数，故f(2)0，所以f(2)f(1)01，即f(x2)f(x1)1对于x0
16、不成立，故D不正确9写出一个同时满足以下三个条件定义域不是R，值域是R；奇函数；周期函数的函数解析式_答案f(x)tanx，xk(kZ)(答案不唯一)解析满足题意的函数为f(x)tanx，xk(kZ)(答案不唯一)10(2022哈尔滨模拟)已知函数f(x)的定义域为R，当x时，ff，则f(6)_.答案2解析当x时，ff，当x时，f(x1)f(x)，即周期为1.f(6)f(1)，当1x1时，f(x)f(x)，f(1)f(1)，当x0成立，设af，bf(log43)，cf，则a，b，c的大小关系为_答案ca0成立，函数f(x)为偶函数、周期为2，在0,1上单调递增，cff，afff，bf(log43)，其中log43，log43.由函数f(x)在0,1上单调递增，可知ca0，则a的取值范围是_答案(0,1)解析对于函数f(x)ln(1x)ln(1x)，有解得1x0，得f(a)f(12a)f(2a1)，所以解得0a1.因此，实数a的取值范围是(0,1)
