1、课时分层作业(九)等比数列的前n项和公式(建议用时:40分钟)一、选择题1设等比数列an的前n项和为Sn,若S23,S415,则S6()A31 B32C63D64C在等比数列an中,S2、S4S2、S6S4也成等比数列,故(S4S2)2S2(S6S4),则(153)23(S615),解得S663.2已知an是等比数列,a31,a6,则a1a2a2a3anan1等于()A16(14n)B16(12n)C(14n)D(12n)Ca31,a6,q,a14,a1a28, q2数列anan+1是以8为首项,为公比的等比数列a1a2a2a3anan1(14n)3设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为
2、Sn.若S23a22,S43a42,则a1()A2B1 CDB由S23a22,S43a42得a3a43a43a2,即qq23q23,解得q1(舍)或q,将q代入S23a22中得a1a13a12,解得a11.故选B. 4已知an是首项为1的等比数列,Sn是其前n项和,且9S3S6,则数列的前5项和等于()A或5 B或5 CDC设数列an的公比为q,显然q1,由已知得,解得q2(q1舍去),数列是以1为首项,为公比的等比数列,前5项和为.5我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一
3、层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A1盏B3盏C5盏D9盏B设塔的顶层的灯数为a1,七层塔的总灯数为S7,公比为q,则由题意知S7381,q2,S7381,解得a13.故选B.二、填空题6在等比数列an中,若a1,a44,则|a1|a2|an|_.2n1由a4a1q3得q2,an(2)n1,|an|2n2.|a1|a2|an|2n1.7在数列an中,a12,an12an,Sn为an的前n项和若Sn126,则n_.6a12,an12an,数列an是首项为2,公比为2的等比数列,又Sn126,126,n6.8某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的
4、2倍,则需要的最少天数n(nN*)等于_6由题意知,第n天植树2n棵,则前n天共植树2222n(2n12)棵,令2n12100,则2n1102,又2664,27128,且2n1单调递增,所以n6,即n的最小值为6.三、解答题9等比数列an的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列(1)求an的公比q;(2)若a1a33,求Sn.解(1)依题意有a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2),由于a10,故2q2q0.又q0,从而q.(2)由已知可得a1a13,故a14.从而Sn.10已知正项等差数列an的前n项和为Sn,若S312,且2a1,a2,a31成等比数列(1)求an的通项公式;(2
5、)记bn的前n项和为Tn,求Tn.解(1)设正项等差数列an的公差为d,则d0.S312,即a1a2a312,3a212,a24.又2a1,a2,a31成等比数列,a2a1(a31),即422(4d)(4d1),解得d3或d4(舍去),a1a2d1,故an3n2.(2)bn(3n2),Tn147(3n2).得Tn147(3n5)(3n2).得,Tn3333(3n2)3(3n2)(3n2),Tn.11(多选题)设等比数列的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并且满足条件a11,a7a81,0.则下列结论正确的是()A0q1Ba7a91,a7a81,1,0a81,0q1,故A正确;又a7a
6、9a1,0a81,Sn的最大值不是S7,故D不正确故选ABC.12(多选题)如图所示,作边长为3的正ABC的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后,再作新三角形的内切圆如此下去则下列说法正确的是()AABC为第一个正三角形,那么第三个正三角形面积为BABC为第一个正三角形,那么第三个正三角形面积为Cn个内切圆的面积和为Dn个内切圆的面积和为3BCSABC32,因为下一个三角形面积依次为上一个正三角形面积的倍,所以第三个正三角形的面积为.故A错误,B正确又根据条件,第一个内切圆的半径为3,面积为,第二个内切圆的半径为,面积为,这些内切圆的面积组成一个等比数列,首项为,公比为,故面积之和为,则C正
7、确,D错误故选BC.13(一题两空)设数列an的前n项和为Sn.若S24,an12Sn1,nN*,则a1_,S5_.1121由于解得由an1Sn1Sn2Sn1得Sn13Sn1,所以Sn13,所以是以为首项,3为公比的等比数列,所以Sn3n1,即Sn,所以S5121.14(一题两空)在九章算术中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题:今有垣厚五尺,两鼠对穿大鼠日一尺,小鼠也日一尺大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢?大意是有厚墙五尺,两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半问_天后两鼠相遇?如果墙足够厚,Sn为前n天两只老鼠打的洞长度之和,则Sn_
8、尺22n1由题意先估计:两天不够,三天又多,设需要x天,则可得124(x2)1(x2)5.解得x2,即2天两只老鼠相遇由题意可知,大老鼠前n天打洞长度为2n1,小老鼠前n天打洞长度为2,所以Sn2n122n1.15已知xn是各项均为正数的等比数列,且x1x23,x3x22.(1)求数列xn的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),Pn1(xn1,n1)得到折线P1P2Pn1,求由该折线与直线y0,xx1,xxn1所围成的区域的面积Tn.解(1)设数列xn的公比为q,由已知可得q0.由题意得消去x1得3q25q20.因为q0,所以q2,x11,因此数列xn的通项公式为xn2n1.(2)过P1,P2,Pn1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,Qn1(图略)由(1)得xn1xn2n2n12n1,记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn,由题意得bn2n1(2n1)2n2,所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2.又2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1. 得,Tn321(2222n1)(2n1)2n1(2n1)2n1.所以Tn.