1、课时分层作业(九)等比数列的前n项和公式(建议用时：40分钟)一、选择题1设等比数列an的前n项和为Sn，若S23，S415，则S6()A31 B32C63D64C在等比数列an中，S2、S4S2、S6S4也成等比数列，故(S4S2)2S2(S6S4)，则(153)23(S615)，解得S663.2已知an是等比数列，a31，a6，则a1a2a2a3anan1等于()A16(14n)B16(12n)C(14n)D(12n)Ca31，a6，q，a14，a1a28， q2数列anan+1是以8为首项，为公比的等比数列a1a2a2a3anan1(14n)3设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为
2、Sn.若S23a22，S43a42，则a1()A2B1 CDB由S23a22，S43a42得a3a43a43a2，即qq23q23，解得q1(舍)或q，将q代入S23a22中得a1a13a12，解得a11.故选B. 4已知an是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和等于()A或5 B或5 CDC设数列an的公比为q，显然q1，由已知得，解得q2(q1舍去)，数列是以1为首项，为公比的等比数列，前5项和为.5我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一
3、层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏B3盏C5盏D9盏B设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7381，q2，S7381，解得a13.故选B.二、填空题6在等比数列an中，若a1，a44，则|a1|a2|an|_.2n1由a4a1q3得q2，an(2)n1，|an|2n2.|a1|a2|an|2n1.7在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_.6a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列，又Sn126，126，n6.8某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的
4、2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_6由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2222n(2n12)棵，令2n12100，则2n1102，又2664，27128，且2n1单调递增，所以n6，即n的最小值为6.三、解答题9等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列(1)求an的公比q；(2)若a1a33，求Sn.解(1)依题意有a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)，由于a10，故2q2q0.又q0，从而q.(2)由已知可得a1a13，故a14.从而Sn.10已知正项等差数列an的前n项和为Sn，若S312，且2a1，a2，a31成等比数列(1)求an的通项公式；(2
5、)记bn的前n项和为Tn，求Tn.解(1)设正项等差数列an的公差为d，则d0.S312，即a1a2a312，3a212，a24.又2a1，a2，a31成等比数列，a2a1(a31)，即422(4d)(4d1)，解得d3或d4(舍去)，a1a2d1，故an3n2.(2)bn(3n2)，Tn147(3n2).得Tn147(3n5)(3n2).得，Tn3333(3n2)3(3n2)(3n2)，Tn.11(多选题)设等比数列的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a11，a7a81，0.则下列结论正确的是()A0q1Ba7a91，a7a81，1，0a81，0q1，故A正确；又a7a
6、9a1，0a81，Sn的最大值不是S7，故D不正确故选ABC.12(多选题)如图所示，作边长为3的正ABC的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆如此下去则下列说法正确的是()AABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为BABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为Cn个内切圆的面积和为Dn个内切圆的面积和为3BCSABC32，因为下一个三角形面积依次为上一个正三角形面积的倍，所以第三个正三角形的面积为.故A错误，B正确又根据条件，第一个内切圆的半径为3，面积为，第二个内切圆的半径为，面积为，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为，公比为，故面积之和为，则C正
7、确，D错误故选BC.13(一题两空)设数列an的前n项和为Sn.若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_.1121由于解得由an1Sn1Sn2Sn1得Sn13Sn1，所以Sn13，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以Sn3n1，即Sn，所以S5121.14(一题两空)在九章算术中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿大鼠日一尺，小鼠也日一尺大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半问_天后两鼠相遇？如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打的洞长度之和，则Sn_
8、尺22n1由题意先估计：两天不够，三天又多，设需要x天，则可得124(x2)1(x2)5.解得x2，即2天两只老鼠相遇由题意可知，大老鼠前n天打洞长度为2n1，小老鼠前n天打洞长度为2，所以Sn2n122n1.15已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1x23，x3x22.(1)求数列xn的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，Pn1(xn1，n1)得到折线P1P2Pn1，求由该折线与直线y0，xx1，xxn1所围成的区域的面积Tn.解(1)设数列xn的公比为q，由已知可得q0.由题意得消去x1得3q25q20.因为q0，所以q2，x11，因此数列xn的通项公式为xn2n1.(2)过P1，P2，Pn1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，Qn1(图略)由(1)得xn1xn2n2n12n1，记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn，由题意得bn2n1(2n1)2n2，所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2.又2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1. 得，Tn321(2222n1)(2n1)2n1(2n1)2n1.所以Tn.