1、专题10：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之中位线一、单选题1如图，在菱形 ABCD 中，边长 AB=4，A=60，E、F 为边 BC、CD 的中点，作菱形 CEGF，则图中阴影部分的面积为（ ）A16B12C8D62平面直角坐标系内一点关于原点对称点的坐标是（ ）ABCD二、填空题3如图，已知在RtABC中，ACB90，点D是AC延长线上的一点，AD24，点E是BC上一点，BE10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN_4梯形ABCD中，点E，F，G分别是BD，AC，DC的中点，已知：两底差是3，两腰的和是6，则EFG的周长是_5如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是
2、边AB、AD的中点，BC=5，CD=3，EF=2，AFE=45，则ADC的度数为_6如图，将绕点按顺时针方向旋转90到的位置，已知斜边, , 设的中点是,连接，则_7如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，E为AC上一点，BE平分ABO，EFBC于点F，CAD=45，EF交BD于点P，BP=，则BC的长为_8如图，正方形ABCD的边长为2，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BECF，AE与BF相交于点P若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于_三、解答题9如图，在四边形中，、分别是边、的中点，的延长线分别、的延长线交于点、，求证：10如
3、图所示，中，于，为的中点，求证：.11如图，正方形ABCD的边长为4，E是线段AB延长线上一动点，连结CE（1）如图1，过点C作CFCE交线段DA于点F求证：CF=CE；若BE=m（0m4），用含m的代数式表示线段EF的长；（2）在（1）的条件下，设线段EF的中点为M，探索线段BM与AF的数量关系，并用等式表示（3）如图2，在线段CE上取点P使CP=2，连结AP，取线段AP的中点Q，连结BQ，求线段BQ的最小值12如图，在菱形中，点、分别为边、的中点，连接，求证：参考答案1D【解析】【分析】构造辅助线，求得，的长，利用三角形中位线定理证得,求得，从而求得阴影部分的面积【详解】设菱形ABCD的对
4、角线相交于G，AB=4，A=60，AB=BC=CD=DA=4，A=C =60，为边长为4的等边三角形，DCG=BCG=30，E、F 为边 BC、CD 的中点，EFBD，EF=BD=2，,，故选：D【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的面积，三角形中位的性质，相似三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造出等边三角形是解题的关键，也是本题的突破点2D【解析】【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点， 点A（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2
5、，-3）, 故选D【点评】本题主要考查点关于原点对称的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点对称的特征.313【解析】【分析】连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，由中位线定理可得NF、MF的长度，再根据勾股定理求出MN的长度即可【详解】连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示M、N、F分别是AB、DE、BD的中点NF、MF分别是BDE、ABD的中位线在中，由勾股定理得故答案为：13【点评】本题考查了三角形中位线的问题，掌握中位线定理、勾股定理是解题的关键4【解析】【分析】连接AE，并延长交CD于K，利用“AAS”证得AEBKED，得到DK=AB，可知EF，EG、FG分别为A
6、KC、BDC和ACD的中位线，由三角形中位线定理结合条件可求得EF+FG+EG，可求得答案【详解】连接AE，并延长交CD于K，ABCD，BAE=DKE，ABD=EDK，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点BE=DE，在AEB和KED中，AEBKED（AAS），DK=AB，AE=EK，EF为ACK的中位线，EF=CK=(DC-DK) =(DC-AB)，EG为BCD的中位线，EG=BC，又FG为ACD的中位线，FG=AD，EG+GF=(AD+BC)，两腰和是6，即AD+BC=6，两底差是3，即DC-AB=3，EG+GF=3，FE=，EFG的周长是3+=故答案为：【点评】本题考查了全等三角形的判
7、定和性质，三角形中位线的性质，作出常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键5135【解析】【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到EFBD，BD2EF4，根据勾股定理的逆定理得到BDC90，计算即可【详解】解：连接BD，E、F分别是边AB、AD的中点，EF2，EFBD，BD2EF4，ADBAFE45，又BC5，CD3，BD2+CD225，BC225，BD2+CD2BC2，BDC90，ADCADB+BDC135，故答案为：135【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，熟练掌握中位线定理并作出正确的辅助线是解决本题的关键6【解析】【
8、分析】作MHAC于H，根据垂直平分线的性质可得HM的大小，又因为BH=3，HM=4；计算可得AH的值，根据勾股定理可得AM的大小【详解】作MHAC于H，因为M为AB的中点，故HM=AC，又因为AC=AC=8，则HM=AC=8=4，BH=3，又因为AB=8-6=2，所以AH=3+2=5，AM=cm故答案为：【点评】根据图形的翻折不变性，结合勾股定理和中位线定理解答74【解析】【分析】过点E作EMAD，由ABO是等腰三角形，根据三线合一可知点E是AO的中点，可证得EM=AD=BC，根据已知可求得CEF=ECF=45，从而得BEF=45，BEF为等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=BC，因此可证明
9、BFPMEP（AAS），则EP=FP=FC，在RtBFP中，利用勾股定理可求得x，即得答案【详解】过点E作EMAD，交BD于M，设EM=x，AB=OB，BE平分ABO，ABO是等腰三角形，点E是AO的中点，BEAO，BEO=90，EM是AOD的中位线，又ABCD是平行四边形，BC=AD=2EM=2x，EFBC， CAD=45，ADBC，BCA=CAD=45，EFC=90，EFC为等腰直角三角形，EF=FC，FEC=45，BEF=90-FEC=45，则BEF为等腰直角三角形，BF=EF=FC=BC=x，EMBF，EMP=FBP，PEM=PFB=90，EM=BF，则BFPMEP（ASA），EP=F
10、P=EF=FC=x，在RtBFP中，即：，解得：，BC=2=4，故答案为：4【点评】考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三线合一的应用，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理求三角形边长，熟记图形的性质定理是解题的关键8【解析】【分析】作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N，连接PH，HQ，当H、P、N、Q四点共线时，MN+NPPQ的值最小，根据勾股定理HQ，再证明ABEBCF，进而得APB为直角三角形，由直角三角形的性质，求得PH，进而求得PQ【详解】解：作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N，连接PH，HQ，则MNQN，四边
11、形ABCD是正方形，ABBC，ABCD，ABCBCD90，在ABE和BCF中，ABEBCF（SAS），AEBBFC，ABCD，ABPBFCAEB，BAE+AEB90，BAE+ABP90，APB90，PH，M点是BC的中点，BMMCCQ，PH+PQHQ，当H、P、Q三点共线时，PH+PQHQ 的值最小，PQ的最小值为，此时，若N与N重合时，MN+PNMN+PNQN+PNPQ的值最小，故答案为【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，关键是确定BM+MN取最小值时P与N的位置9证明见解析【解析】【分析】连接BD，取BD的中点，连接EP，F
12、P，根据三角形中位线定理即可得到PF=AD，PFAD，EP=BC，EPBC，进而得出AHF=BGF【详解】解：如图所示，连接BD，取BD的中点，连接EP，FP，E、F分别是DC、AB边的中点，EP是BCD的中位线，PF是ABD的中位线，PF=AD，PFAD，EP=BC，EPBC，H=PFE，BGF=FEP，又AD=BC，PE=PF，PEF=PFE，AHF=BGF【点评】本题主要考查了三角形中位线定理的运用，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半10见解析【解析】【分析】取AC中点F，连接EF、DF，则EF为ABC的中位线，结合条件可得到FEA=2A，结合直角三角形的性质可得到FDE=
13、EFD，得到DE=EF，可得出结论【详解】证明：取AC的中点F，连EF，DF，则EF为中位线，EFBC，BC=2EF，FEA=B=2A，在直角三角形ACD中，F是斜边BC的中点，DF=CF=AF，FDA=A，即有2FDA=FEA，FEA=FDA+DFE，DFE=FDA，DE=EF，BC=2DE【点评】本题考查了三角形中位线的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键.11（1）详见解析；（2）BM= AF；（3）【解析】【分析】（1）根据正方形的性质以及余角的性质即可证明DCFBCE，再根据全等三角形对应边相等即可得
14、出结论；根据全等三角形的性质可得DF=BE=m在RtECF中，由勾股定理即可得出结论；（2）在直线AB上取一点G，使BG=BE，由三角形中位线定理可得FG=2BM，可以证明AF=AG在RtAFG中由勾股定理即可得出结论（3）在AB的延长线上取点R，使BR=AB=4，连结PR和CR，由三角形中位线定理可得BQ=PR在RtCBR中，由勾股定理即可得出CR的长，再由三角形三边关系定理即可得出结论【详解】（1）解：证明：正方形ABCD，BC=CD，DCB=CBE=90CFCE，FCE=90，DCF=BCE，DCFBCE（ASA），CE=CFDCFBCE，DF=BE=m，AF=4-m，AE=4+m，由四
15、边形ABCD是正方形得A=90，EF=；（2）解：在直线AB上取一点G，使BG=BEM为EF的中点，FG=2BM，由（1）知，DF=BE，又AD=AB，AF=AGA=90，FG=AF，2BM=AF，BM=AF（3）解：在AB的延长线上取点R，使BR=AB=4，连结PR和CRQ为AP的中点，BQ=PRCP=2，CR=，PRCR-CP=，BQ的最小值为【点评】本题考查了正方形的性质以及三角形中位线定理作出恰当的辅助线是解答本题的关键12见解析【解析】【分析】连接、，交于点，根据三角形的中位线定理知，在菱形中，易知，解直角三角形OBC知BO=BCsin60=,从而得证【详解】证明：如图，连接、，交于点，、分别是、的中点，在菱形中，【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，菱形的性质及解直角三角形，熟练掌握有一个角为60的特殊菱形的性质是解题的关键
