1、三排列数的综合应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2020哈尔滨高二检测)现有5名学生,甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相,则甲与乙相邻,且甲与丁不相邻的站法种数为()A.36B.24C.22D.20【解析】选A.根据题意,按甲的站法分2种情况讨论:若甲站在两端,甲有2种情况,乙必须与甲相邻,有1种情况,剩余3人全排列,安排在剩余的3个位置,有=6种站法,则此时有216=12种站法;若甲不站在两端,甲可以站在中间的3个位置,有3种情况,乙必须与甲相邻,也有2种情况,甲与丁不能相邻,丁有2个位置可选,有2种情况,剩余2人全排列,安排在剩余的2个位置,有=2种站法,则此时有3
2、222=24种站法;则一共有24+12=36种站法.2.由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序排成一个数列an,则a72等于()A.1 543B.2 543C.3 542D.4 532【解析】选C.首位是1的四位数有=24(个),首位是2的四位数有=24(个),首位是3的四位数有=24(个),由分类加法计数原理得,首位小于4的所有四位数共324=72(个).由此得a72=3 542.3.(2020开封高二检测)甲同学与本校的另外2名男同学2名女同学一同参加中国成语大全的海选,5人坐成一排,若甲与2名女同学都相邻,则不同坐法的种数为()A.6B.12C.18D.24【解析
3、】选B.把甲与2名女同学“捆绑”在一起与另外2名男同学全排列有种情况,再将2名女同学全排列有种情况,故满足条件的不同坐法的种数为=12.4.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有()A.20种B.30种C.40种D.60种【解析】选A. 分三类:甲在周一,共有种排法;甲在周二,共有种排法;甲在周三,共有种排法.所以有+=20.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020鸡西高二检测)现有高一学生两人,高二学生两人,高三学生一人,将这五人排成一行,要求同一年级的学生不能相邻,则不同的排
4、法总数为_.【解析】根据题意,将五个人全排列,共有=120种结果.其中高一学生相邻或高二学生相邻两种情况,有2=96种,高一学生相邻且高二学生相邻情况,有=24种,故同一年级的学生不能相邻的排法是120-96+24=48(种).答案:486.把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有_种.【解析】先将A,B捆绑在一起,有种摆法,再将它们与其他3件产品全排列,有种摆法,共有种摆法.而A,B,C这3 件产品在一起,且A,B相邻,A,C相邻有2种摆法.故A,B相邻,A,C不相邻的摆法有-2=36(种).答案:36三、解答题(每小题10分,共20分)7.从-3
5、,-2,-1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c,问:(1)共能组成多少个不同的二次函数?(2)在这些二次函数中,图像关于y轴对称的有多少个?【解析】(1)方法一(直接法优先考虑特殊位置)因为a0,所以确定二次项系数有7种,确定一次项和常数项有种,所以共有7=294个不同的二次函数.方法二(直接法优先考虑特殊元素)当a,b,c中不含0时,有个;当a,b,c中含有0时,有2个,故共有+2=294(个)不同的二次函数.方法三(间接法)共可构成个函数,其中当a=0时,有个均不符合要求,从而共有-=294(个)不同的二次函数.(2)依题意b=
6、0,所以共有=42(个)符合条件的二次函数.8.某小组6个人排队照相留念.(1)若分成两排照相,前排2人,后排4人,有多少种不同的排法?(2)若分成两排照相,前排2人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种排法?(3)若排成一排照相,甲、乙两人必须在一起,有多少种不同的排法?(4)若排成一排照相,其中甲必在乙的右边,有多少种不同的排法?(5)若排成一排照相,其中有3名男生3名女生,且男生不能相邻有多少种排法?(6)若排成一排照相,且甲不站排头乙不站排尾,有多少种不同的排法?【解题指南】(1)相当于6个人全排列,即.(2)利用特殊对象优先的原则,将甲排在前排,乙排在后排,其余4人全
7、排列,根据分步乘法原理可得.(3)利用捆绑法,甲、乙视为一个人,即看成5人全排列问题,再将甲、乙两人排列,根据分步乘法原理可得.(4)甲必在乙的右边属于定序问题,用除法可得.(5)3名男生不相邻,用插空法,根据分步乘法原理可得.(6)利用特殊位置优先原则,分乙在排头和乙不在排头两类,根据分类加法原理可得.【解析】(1)前排2人,后排4人,相当于6个人全排列,共有=720种排法.(2)先将甲排在前排,乙排在后排,其余4人全排列,根据分步乘法原理得,=192种排法.(3)甲、乙视为一个人,即看成5人全排列问题,再将甲、乙两人排列,根据分步乘法原理可得,=240种排法.(4)甲必在乙的右边属于定序问
8、题,用除法,=360种排法.(5)将3名男生插入3名女生之间的4个空位,这样保证男生不相邻,根据分步乘法原理得,=144种排法.(6)方法一:乙在排头其余5人全排列,共有种排法;乙不在排头,排头和排尾均为,其余4个位置全排列有,根据分步乘法得,再根据分类加法原理得,+=504种排法.方法二:(间接法) -2+=720-240+24=504种排法. (15分钟30分)1.(5分)在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23 145且小于43 521的数共有()A.56个B.57个C.58个D.60个【解析】选C.采用分类加法计数原理,第1类:23154,1个;第2类:形如
9、234和235的数有2=4个;第3类:形如24和25的数有2=12个;第4类:万位为3的数有=24个;第5类:形如42和41的数有2=12个;第6类:形如432和431的数有2=4个;第7类:43512,1个.所以共有1+4+12+24+12+4+1=58个.2.(5分)在一次射击比赛中,8个泥制的靶子挂成三列,其中两列各挂3个,一列挂2个,如图所示.一射手按照下列规则去击碎靶子:先挑选一列,然后必须击碎这列中尚未击碎的靶子中最低的一个.若每次射击都遵循这一原则,击碎全部8个靶子可以有_种不同的射击方案.【解析】自左至右,自下而上分别用字母A1,A2,A3;B1,B2;C1,C2,C3表示三列
10、靶子.打完8个靶子的所有不同次序相当于把8个字母排个队,但A1,A2,A3;B1,B2;C1,C2,C3三组内部的先后次序排定.因为各种排列情形是等可能出现的.所以击碎8个靶子的不同次序有=560(种).答案:5603.(5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_.【解析】先分组后用分配法求解,5张参观券分为4组,其中2张连号的有4种分法,每一种分法中的排列方法有种,因此共有不同的分法4=424=96(种).答案:96种4.(5分)校园某处并排连续有6个停车位,现有3辆汽车需要停放,为了方便司机上下车,规定
11、:当有汽车相邻停放时,车头必须同向;当车没有相邻时,车头朝向不限,则不同的停车方法共有_种.(用数字作答)【解析】(1)当三辆车都不相邻时有48=192(种);(2)当两辆车相邻时有34+24+24+24+34=288(种);(3)当三辆车相邻时有42=48(种),则共有192+288+48=528(种).答案:5285.(10分)将数字1,2,3,4,5,6排成一列,记第i个数为ai(i=1,2,6),若a11,a33,a55,a1a31)个车站,客运车票增加了62种,则n=_,m=_.【解析】由题意得-=62,即(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62.整理得m(2n+m-1)=62=
12、231.因为m,n均为正整数,所以2n+m-1也为正整数.所以得n=15,m=2.答案:1522.编号为A,B,C,D,E的5个小球放在如图所示的5个盒子里,要求每个盒子只能放1个小球,且A球不能放在1,2号盒子里,B球必须放在与A球相邻的盒子中,求不同的放法有多少种?【解析】根据A球所在位置分三类:(1)若A球放在3号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C,D,E,则根据分步乘法计数原理得,此时有=6种不同的放法;(2)若A球放在5号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C,D,E,则根据分步乘法计数原理得,此时有=6种不同的放法;(3)若A球放在4号盒子内,则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个,余下的三个盒子放球C,D,E,有=6种不同的放法,根据分步乘法计数原理得,此时有=18种不同的放法.综上所述,由分类加法计数原理得不同的放法共有6+6+18=30种.
