1、山西大学附中20222023学年第一学期高二年级1月阶段测试数学试题考察时间：120分钟 满分：150分 考查内容：解析几何 导数一、 单选题（每小题5分，共40分）1-8 :BBDB CACC 9.AC 10.AD 11.AD 12.ABC1抛物线的焦点坐标为（ ）A B C D 【答案】B2函数的单调递减区间为（）ABCD【答案】B 【详解】因为，所以，由解得：，所以函数的单调递减区间为故选：B3已知函数，则（）A2B1C0D【答案】D【详解】因为，则，所以，则，所以，所以.故选：D.4某放射性同位素在衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为时该同位素的含
2、量.已知时，该同位素含量的瞬时变化率为，则（）A24贝克B贝克C1贝克D贝克【答案】B【详解】解：由，得，因为时，该同位素含量的时变化率为，所以，解得，所以，故选：B5设椭圆离心率为，双曲线的渐近线的斜率小于，则椭圆 的离心率的取值范围是（）A BCD【答案】C【详解】根据双曲线方程可得，其渐近线方程为，又因为，且渐近线的斜率小于，即；所以，椭圆的离心率即离心率的取值范围是.故选：C6.设定义在上的函数，满足任意，都有，且时，则，的大小关系是（）ABCD【答案】A【分析】利用构造函数法，结合导数以及函数的周期性确定正确答案.【详解】依题意，任意，都有，所以是周期为的周期函数.所以.构造函数，所
3、以在区间上单调递增，所以，即，也即.故选：A71970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等设椭圆的长轴长、焦距分别为，下列结论错误的是（）A卫星向径的取值范围是B卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大D卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁【答案】C【详解】解：A选项：由题
4、意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确；B选项：根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确；C选项：因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故C不正确；D选项：卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则越大，椭圆越扁，故D正确.故选：C8已知函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围（ ）ABCD 【答案】C【
5、详解】由题意，得，设，求导令，解得当时，单调递增；当时，单调递减；故当时，函数取得极大值，且又时，；当时，故；作出函数大致图像，如图所示：又，因为存在唯一的整数，使得与的图象有两个交点，由图可知：，即故选：C.二、多选题（每小题满分5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分）9函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（）A在上函数为增函数B在上函数为增函数C在上函数有极大值D是函数在区间上的极小值点【答案】AC【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.所以A选项正确，B选项错误.在区间上，有极大值为，C选项正确.在区间上，是的极小值点，D选项
6、错误.故选：AC10给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数以下四个函数在上不是凸函数的是（）A B C D【答案】AD【详解】对于A，当时，故不是凸函数；对于B，故是凸函数；对于C，对任意的，故是凸函数；对于D，对任意的，故不是凸函数故选：AD11直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（）A B C D【答案】AD【详解】联立，消y得，.因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，所以方程有一正一负根，所以，整理得，解得.所以的取值范围为.故选：AD12抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，
7、沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（）A B C D与之间的距离为4【答案】ABC【详解】如图所示，由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，即选项A正确；由题意可得，点的坐标为，点的坐标为，即选项B正确；由抛物线的定义可知，即选项C正确；与平行，与之间的距离，即选项D错误；故选：ABC三、填空题（每小题5分，共20分）13椭圆的长轴长为_【答案】414函数在点处的切线方程为_.【答案】【详解】由函数可得，故在点处的切线的斜率为，故切线方程为，即，故答案为：.15已知函数有
8、两个极值点，则实数的取值范围为_.【答案】【变式详解】的定义域为，.要使函数有两个极值点，只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反.由得，.令，要使函数有两个极值点，只需和有两个交点.，令得：x1；令得：0x1；所以在上单减，在上单增.当时，；当时，；作出和的图像如图，所以即实数的取值范围为.故答案为：16已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为_.全科试题免费下载公众号高中僧试题下载【答案】原题：已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为_.【原题详解】令，在上单调递增.，恒成立，令，只需，单调递增，单调递减，时，的最大值为，的最小值为.故答案为：四、 解
9、答题（17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知在时有极值0.（1）求常数，的值；（2）求函数在区间上的值域.【详解】（1），可得， -1分由题时有极值0.可得：即-3分解得：或， 当时，单调，不会有极值，故舍去. 经验证成立；-5分（2）由（1）可知， 增 减 增 所以函数在和递增，递减. -7分且，-9分可得值域为.-10分18在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为、，实轴长为.（1）求双曲线的标准方程；（2） 过点的直线与曲线交于，两点，且恰好为线段的中点，求直线的方程及弦的长.【详解】：（1）根据题意，焦点在轴上，且，所以，-3分双曲线的标准方程为；
10、-4分（2）过点的直线与曲线交于，两点，且恰好为线段的中点，当直线斜率不存在时，直线方程为，则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上，所以不满足题意；-5分当斜率存在时，设直线方程为，设，则，化简可得，-6分因为有两个交点，所以 化简可得恒成立， -8分因为恰好为线段的中点，则，化简可得， -9分所以直线方程为，即. -10分此时， -12分19已知函数.(1)当时，证明：；(2)讨论的单调性.【详解】：（1）当时，令， -1分， -2分可得时，此时函数单调递减；时，此时函数单调递增， -3分时，函数取得极小值即最小值， -4分，即 -5分（2）函数的定义域为， -7分当时， 时，此时函数单调递增
11、，时，此时函数单调递减； -9分时，此时函数在单调递增； -10分时，时，此时函数单调递增区间为；时，此时函数单调递减 -12分综上，当时，函数在单调递增，在单调递减；当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增；20在新冠肺炎疫情期间，口罩是必不可少的防护用品某小型口罩生产厂家为保障抗疫需求，调整了口罩生产规模已知该厂每月生产口罩的固定成本为1万元，每生产x万件，还需投入万元的原材料费，全部售完可获得万元，当月产量不足5万件时，；当月产量不低于5万件时，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩当月可以全部售完(1)求月利润（万元）关于月产量（万件）的函数关系式，并求出月产量为3万
12、件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润；(2)月产量为多少万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大？最大约为多少万元？（精确到）参考数据：【详解】：（1）当时； -1分当时，-2分故月利润y关于月产量的函数关系式为-3分当时，-4分故月产量为3万件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润为7.5万元-5分(2)当时，故时，取得最大值，最大值为8万元；-7分当时，故时，时，所以在上单调递增，在上单调递减，-9分故当时，取得最大值，且-10分因为，所以当月产量约为8万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大，最大月利润约为8.9万元-12分21已知函数.（1）若在上是增函数，求实数的取值范围；（2）若时，不等式
13、恒成立，求实数的取值范围.【详解】（1）依题， 故， 在上是增函数，在上恒成立. -2分即：在上恒成立. 设，则当时，；当时，即在上单调递减；在在上单调递增-4分即的取值范围为：-5分（2）当时，恒成立，所以在上单调递增，且.-6分因为，所以，则不等式可化为，-7分即.令，因为，则问题等价于函数在上单调递增，-8分即在上恒成立，即，.-9分令，则.令，解得，所以当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增；所以当时，函数取得最小值，且，所以当时，-11分所以. -12分22已知点，动点满足记点的轨迹为曲线（1）求的方程；（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，证明：直线过定点【详解】（1）设，则，所以，可以化为，化简得所以，的方程为-4分（2）由题设可设，由题意知切线，的斜率都存在，由，得，则，所以，直线的方程为，即，-4分因为在上，所以，即，-4分将代入得，-6分所以直线的方程为.-7分同理可得直线的方程为-8分因为在直线上，所以，又在直线上，所以，所以直线的方程为，-11分故直线过定点-12分
