1、高三数学（理）一轮复习 教案 第十一编 概率统计 总第56期11.3 线性回归方程基础自测1.下列关系中，是相关关系的为 （填序号）.学生的学习态度与学习成绩之间的关系；教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系.答案 2.为了考察两个变量x、y之间的线性相关关系，甲、乙两同学各自独立地做10次和15次试验，并利用最小二乘法求得回归直线分别为l1和l2.已知在两人的试验中发现变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s,变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t,那么下列说法中正确的是 （填序号）.直线l1,l2有交点（
2、s,t)；直线l1,l2相交，但是交点未必是(s,t)直线l1,l2由于斜率相等，所以必定平行；直线l1,l2必定重合答案 3.下列有关线性回归的说法，正确的是 （填序号）.相关关系的两个变量不一定是因果关系；散点图能直观地反映数据的相关程度回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系；任一组数据都有回归直线方程答案 4.下列命题：线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法；利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；通过回归直线=+及回归系数,可以估计和预测变量的取值和变化趋势.其中正确命题的序号是 .答案 5.已知回归方程为=0.50x-0.8
3、1,则x=25时，的估计值为 .答案 11.69例题精讲 例1 下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：施化肥量15202530354045水稻产量320330360410460470480（1）将上述数据制成散点图；（2）你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？解 （1）散点图如下： （2）从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化 肥施用量的增加而增长.例2 （14分）随着我
4、国经济的快速发展，城乡居民的生活水平不断提高，为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计部门随机调查了10个家庭，得数据如下：家庭编号12345678910xi（收入）千元0.81.11.31.51.51.82.02.22.42.8yi（支出）千元0.71.01.21.01.31.51.31.72.02.5（1）判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关？（2）若二者线性相关，求回归直线方程.解 （1）作出散点图： 5分观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者呈线性相关关系. 7分（2）= (0.8+1.1+1.3+1.5+1.5+1.8+2.0+2.2+2.4+2.8)=
5、1.74,=（0.7+1.0+1.2+1.0+1.3+1.5+1.3+1.7+2.0+2.5）=1.42， 9分=0.813 6， =1.42-1.740.813 60.004 3， 13分回归方程=0.813 6x+0.004 3.14分例3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对照数据.x3456y2.5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲
6、产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：32.5+43+54+64.5=66.5)解 （1）散点图如下图: （2）=4.5,=3.5=32.5+43+45+64.5=66.5； =32+42+52+62=86=0.7； =-=3.5-0.74.5=0.35.所求的线性回归方程为=0.7x+0.35.（3）现在生产100吨甲产品用煤y=0.7100+0.35=70.35，降低90-70.35=19.65(吨)标准煤.巩固练习 1.科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况，查看了气象局对该地区年降雨量与年平均气温的统计数据（单位分别是mm,)，并作了统计.年平均气温12.5112.84
7、12.8413.6913.3312.7413.05年降雨量748542507813574701432（1）试画出散点图；（2）判断两个变量是否具有相关关系.解 （1）作出散点图如图所示，(2)由散点图可知，各点并不在一条直线附近，所以两个变量是非线性相关关系.2.在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：温度(x)010205070溶解度（y)66.776.085.0112.3128.0由资料看y与x呈线性相关，试求回归方程.解 =30,=93.6.=0.880 9； =-=93.6-0.880 930=67.173.回归方程为=0.880 9x+67.1
8、73.3.某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：月份产量（千件）单位成本（元）127323723471437354696568（1）求出线性回归方程；（2）指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？（3）假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？解 （1）n=6，=21，=426，=3.5,=71,=79，=1 481， =-1.82.=-=71+1.823.5=77.37.回归方程为=+x=77.37-1.82x.（2）因为单位成本平均变动=-1.820,且产量x的计量单位是千件,所以根据回归系数b的意义有:产量每增加一个单位即1 000件时,单位成本平均减少1.82元.(3)
9、当产量为6 000件时,即x=6,代入回归方程: =77.37-1.826=66.45（元）当产量为6 000件时，单位成本为66.45元.回顾总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.观察下列散点图，则正相关；负相关；不相关.它们的排列顺序与图形对应顺序是 .答案 a,c,b2.回归方程=1.5x-15,则下列说法正确的有 个.=1.5-15；15是回归系数a；1.5是回归系数a；x=10时，y=0答案 13.（2009.湛江模拟）某地区调查了29岁儿童的身高，由此建立的身高y(cm)与年龄x(岁)的回归模型为=8.25x+60.13,下列叙述正确的是 .该地区一个10岁儿童的身高为142.
10、63 cm该地区29岁的儿童每年身高约增加8.25 cm该地区9岁儿童的平均身高是134.38 cm利用这个模型可以准确地预算该地区每个29岁儿童的身高答案 4.三点（3，10），（7，20），（11，24）的回归方程是 .答案 =1.75x+5.755.某人对一地区人均工资x(千元）与该地区人均消费y(千元）进行统计调查，y与x有相关关系，得到回归直线方程=0.66x+1.562.若该地区的人均消费水平为7.675千元，估计该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为 .答案 83%6.某化工厂为预测产品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系,现取8对观测值,计算,得=52
11、, =228, =478, =1 849,则其线性回归方程为 .答案 =11.47+2.62x7.有下列关系：人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；曲线上的点与该点的坐标之间的关系；苹果的产量与气候之间的关系；森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系.其中，具有相关关系的是 .答案 8.已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y(万元），有如下统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0若y对x呈线性相关关系，则回归直线方程=x+表示的直线一定过定点 .答案 （4，5）二、解答题9.期中考试结束后，记录了5名同学的数学和物理成绩，如下表： 学生学科ABCD
12、E数学8075706560物理7066686462（1）数学成绩和物理成绩具有相关关系吗？（2）请你画出两科成绩的散点图，结合散点图，认识（1）的结论的特点.解 （1）数学成绩和物理成绩具有相关关系.（2）以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图如下：由散点图可以看出，物理成绩和数学成绩对应的点不分散，大致分布在一条直线附近.10.以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积x（m2)11511080135105销售价格y(万元）24.821.618.429.222（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线.解 （1）数据对应
13、的散点图如图所示：（2）=109,=23.2,=60 975, =12 952,=0.196 2；=-1.814 2所求回归直线方程为=0.196 2x+1.814 2.11.某公司利润y与销售总额x(单位：千万元）之间有如下对应数据：x10151720252832y11.31.822.62.73.3（1）画出散点图；（2）求回归直线方程；（3）估计销售总额为24千万元时的利润.解 （1）散点图如图所示：（2)=(10+15+17+20+25+28+32)=21, =(1+1.3+1.8+2+2.6+2.7+3.3)=2.1,=102+152+172+202+252+282+322=3 447
14、, =101+151.3+171.8+202+252.6+282.7+323.3=346.3,=0.104, =-=2.1-0.10421=-0.084,=0.104x-0.084.(3)把x=24(千万元）代入方程得， =2.412（千万元）.估计销售总额为24千万元时，利润为2.412千万元.12.某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元）之间有如下对应数据:x24568y3040605070（1）画出散点图；（2）求回归直线方程；（3）试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？解 （1）根据表中所列数据可得散点图如下：（2）列出下表，并用科学计算器进行有关计算：i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560因此，=5,= =50,=145, =13 500, =1 380.于是可得：=6.5; =-=50-6.55=17.5.因此，所求回归直线方程为：=6.5x+17.5.（3）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时，=6.510+17.5=82.5(百万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元.
