1、高考资源网（） 您身边的高考专家2014-2015学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（） A P1=P2P3 B P2=P3P1 C P1=P3P2 D P1=P2=P32从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（） A B C D 3执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） A 2 B C D 4某校对高一年级学
2、生的数学成绩进行统计，全年级同学的成绩全部介于60分与100分之间，将他们的成绩数据绘制成如图所示的频率分布直方图现从全体学生中，采用分层抽样的方法抽取60名同学的试卷进行分析，则从成绩在90，100内的学生中抽取的人数为（） A 24 B 18 C 15 D 125投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是=1，2，3，4，5，6设事件A=1，3，B=3，5，6，C=2，4，6，则下列结论中正确的是（） A A，C为对立事件 B A，B为对立事件 C A，C为互斥事件，但不是对立事件 D A，B为互斥事件，但不是对立事件6下图是1，2两组各7名同学体重（单位：千克）数据的茎叶图设1，2两组
3、数据的平均数依次为和，标准差依次为s1和s2，那么（）（注：标准差s=，其中为x1，x2，xn的平均数） A ，s1s2 B ，s1s2 C ，s1s2 D ，s1s27如图给出的是计算的一个程序框图，则判断框内应填入关于i的不等式为（） A i50 B i50 C i51 D i518袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取3个小球设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（） A B C D 二、解答题：本大题共2小题，共18分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤9从某校高一年级随机抽取n名学生，获得了他们日平均睡眠时间（单位：小时）的数据，整
4、理得到数据分组及频数分布表：组号 分组 频数 频率1 5，6） 2 0.042 6，7） 0.203 7，8） a 4 8，9） b 5来源：ZxxkCom 9，10） 0.16（I）求n的值；（）若a=10，补全表中数据，并绘制频率分布直方图；（）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替若上述数据的平均值为7.84，求a，b的值，并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时的概率10已知关于x的一元二次方程x22ax+b2=0，其中a，bR（I）若a随机选自集合0，1，2，3，4，b随机选自集合0，1，2，3，求方程有实根的概率；（）若a随机选自区间0，4，b随机选自区间0，3，
5、求方程有实根的概率一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的11数列an满足a1=1，an+1=an3（nN*），则a4=（） A 10 B 8 C 8 D 1012设a，bR，且ab，则下列结论中正确的是（） A l B C |a|b| D a3b313在等比数列an中，a1=2，a4=若am=215，则m=（） A 17 B 16 C 14 D 1314若实数x，y满足则z=x+3y的最大值是（） A 6 B 4 C D 015在ABC中，若asinA=bsinB，则ABC的形状为（） A 等腰三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D
6、等边三角形16已知等差数列an的前n项和为Sn若S2k+10，则一定有（） A ak0 B Sk0 C ak+l0 D Sk+l017已知数列an的前n项的乘积为Tn=2nc，其中c为常数，nN*若a4=3，则c=（） A 4 B 3 C 2 D 118设不等式组表示的平面区域是W，则W中的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数是（） A 231 B 230 C 219 D 218二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分把答案填在题中横线上19不等式x22x的解集为20在ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=21已知等差数列an的各项均为正整数，且a8=2015，则a1的最小值是22
7、函数f（x）=x+（x1）的最小值是；此时x=23设aR，nN*，求和：l+a+a2+a3+an=24设数列an的通项公式为an=3n（nN*）数列bn定义如下：对任意mN*，bm是数列an中不大于32m的项的个数，则b3=；数列bm的前m项和Sm=三、解答题：本大题共4小题，共44分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤25（10分）（2015春西城区期末）已知数列an是首项为1，公比为q的等比数列（）证明：当0q1时，an是递减数列；（）若对任意kN*，都有ak，ak+2，ak+1成等差数列，求q的值26（10分）（2015春西城区期末）已知ABC为锐角三角形，a，b，c分别为角A，B，C
8、所对的边，且a=2csinA（）求角C；（）当c=2时，求：ABC面积的最大值27（12分）（2015春西城区期末）设mR，不等式mx2（3m+1）x+2（m+1）0的解集记为集合P（I）若P=（x|1x2），求m的值；（）当m0时，求集合P；（）若x|3x2P，求m的取值范围28（12分）（2015春西城区期末）已知数列an的通项公式为an=2n+（1）n+1（1+n），其中是常数，nN*（I）当an=1时，求的值；（）数列an是否可能为等差数列？证明你的结论；（）若对于任意nN*，都有an0，求的取值范围2014-2015学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：
9、本大题共8小题，每小题4分共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（） A P1=P2P3 B P2=P3P1 C P1=P3P2 D P1=P2=P3考点： 简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法 专题： 概率与统计分析： 根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论解答： 解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3故选：D点评： 本题主要
10、考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础2从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（） A B C D 考点： 古典概型及其概率计算公式 专题： 概率与统计分析： 从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，其基本事件共有以下6个，其中两个数的和为5的共有两个（1，4），（2，3）据此可得出答案解答： 解：从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，其基本事件共有以下6个：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）其中两个数的和为5的共有两个（1，4），（2，3）故所求事件的概率P=，故选：C点评： 把所有的基本事件一
11、一列举出来，再找出所要求的事件包含的基本事件个数即可3执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） A 2 B C D 考点： 程序框图 专题： 算法和程序框图分析： 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案解答： 解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：，故选：C点评： 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数
12、不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答4某校对高一年级学生的数学成绩进行统计，全年级同学的成绩全部介于60分与100分之间，将他们的成绩数据绘制成如图所示的频率分布直方图现从全体学生中，采用分层抽样的方法抽取60名同学的试卷进行分析，则从成绩在90，100内的学生中抽取的人数为（） A 24 B 18 C 15 D 12考点： 频率分布直方图 专题： 计算题；概率与统计分析： 根据频率分布直方图，求出成绩在90，100内的频率，再利用分层抽样原理计算应抽取的学生数解答： 解：根据频率分布直方图，得；成绩在90，100内的学生的频率为0.0310=0.3，所以，从成绩在90，100内的学生中
13、抽取的人数为600.3=18故选：B点评： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样原理的应用问题，是基础题目5投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是=1，2，3，4，5，6设事件A=1，3，B=3，5，6，C=2，4，6，则下列结论中正确的是（） A A，C为对立事件 B A，B为对立事件 C A，C为互斥事件，但不是对立事件 D A，B为互斥事件，但不是对立事件考点： 互斥事件与对立事件 专题： 概率与统计分析： 结合已知中基本事件空间是=1，2，3，4，5，6事件A=1，3，B=3，5，6，C=2，4，6，分析A，B，C是否满足互斥事件和对立事件的定义，可得结论解答：
14、解：投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是=1，2，3，4，5，6事件A=1，3，B=3，5，6，C=2，4，6，当掷出的点数3时，A，B同时发生，故A，B不是互斥事件，故A，B也不是对立事件；即B，D错误；A，C不可能同时发生，故A，C为互斥事件，但AB=1，2，3，4，6，故A，C不是对立事件，故A错误，C正确，故选：C点评： 本题考查的知识点是互斥事件与对立事件，熟练掌握并正确理解对立事件和互斥事件的概念是解答的关键6下图是1，2两组各7名同学体重（单位：千克）数据的茎叶图设1，2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为s1和s2，那么（）（注：标准差s=，其中为x1，x2，xn的平
15、均数） A ，s1s2 B ，s1s2 C ，s1s2 D ，s1s2考点： 茎叶图 专题： 概率与统计分析： 将题中的茎叶图还原，结合平均数、方差计算公式，分别算出第1组7位同学和第2组7位同学的平均数和方差，再将所得结果加以比较，即得本题的答案解答： 解：由茎叶图，得第1组的7名同学的体重分别为53 56 57 58 61 70 72，第1组的7名同学体重的平均数为：=（53+56+57+58+61+70+72）=61kg因此，第1组的7名同学体重的方差为：s2=（5361）2+（5661）2+（7261）2=43.00kg2，同理，第2组的7名同学体重的平均数为：=（54+56+58+6
16、0+61+72+73）=62kg因此，第2组的7名同学体重的方差为：s2=（5462）2+（5662）2+（7362）2=63.14kg2，且s1s2故选：A点评： 本题给出茎叶图，要我们求出数据的平均数和方差，着重考查了茎叶图的认识、样本特征数的计算等知识，属于基础题7如图给出的是计算的一个程序框图，则判断框内应填入关于i的不等式为（） A i50 B i50 C i51 D i51考点： 程序框图 专题： 算法和程序框图分析： 框图给出的是计算的值的一个程序框图，首先赋值i=1，执行s=0+时同时执行了i=i+1，和式共有50项作和，所以执行完s=后的i值为51，再判断时i=51应满足条件
17、，由此可以得到正确答案解答： 解：框图首先给变量s，n，i赋值s=0，n=2，i=1判断，条件不满足，执行s=0+，n=2+2=4，i=1+1=2；判断，条件不满足，执行s=+，n=4+2=6，i=2+1=3；判断，条件不满足，执行s=+，n=6+2=8，i=3+1=4；由此看出，当执行s=时，执行n=100+2=102，i=50+1=51在判断时判断框中的条件应满足，所以判断框中的条件应是i50？故选：B点评： 本题考查了程序框图中的直到型循环，虽然是先进行了一次判断，但在不满足条件时执行循环，直到满足条件算法结束，此题是基础题8袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从
18、袋中随机抽取3个小球设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（） A B C D 考点： 古典概型及其概率计算公式 专题： 概率与统计分析： 从口袋中5个小球中随机摸出3个小球，共有10种选法，则既没有黑球也没有白球只有1种，根据互斥事件的概率公式计算即可解答： 解：从口袋中5个小球中随机摸出3个小球，共有C53=10种选法，则既没有黑球也没有白球只有1种，每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为1=，故选：D点评： 本题考查了古典概型的概率计算公式和组合数的计算公式，属于基础题二、解答题：本大题共2小题，共18分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤9从某校高一年级随机
19、抽取n名学生，获得了他们日平均睡眠时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表：组号 分组 频数 频率1 5，6） 2 0.042 6，7） 0.203 7，8） a 4 8，9） b 5来源：ZxxkCom 9，10） 0.16（I）求n的值；（）若a=10，补全表中数据，并绘制频率分布直方图；（）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替若上述数据的平均值为7.84，求a，b的值，并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时的概率考点： 频率分布直方图 专题： 概率与统计分析： （I）根据频率=，求出n的值；（II）根据频率、频数与样本容量的关系，求出表中空余的数值，补
20、全数表，并绘制频率分布直方图；（III）根据平均数的定义，列出方程组，求出a、b的值，计算日平均睡眠时间不少于8小时的概率解答： 解：（I）小组5，6）内的频数是2，对应的频率是0.04，样本容量为n=；（1分）（II）小组6，7）内的频数为500.20=10，小组7，8）内的频率为=0.20，小组8，9）内的频数为50210108=20，频率为=0.40，小组9，10）内的频数为500.16=8，由此补全数据见下表（3分）；组号 分组 频数 频率1 5，6） 2 0.042 6，7） 10 0.203 7，8） 10 0.204 8，9） 20 0.405 9，10） 8 0.16绘制频率分
21、布直方图见下图：（5分）（III）根据题意，得，（7分）解得；（8分）设“该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时”为事件A，则P（A）=（9分）点评： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数与概率的计算问题，是基础题目10已知关于x的一元二次方程x22ax+b2=0，其中a，bR（I）若a随机选自集合0，1，2，3，4，b随机选自集合0，1，2，3，求方程有实根的概率；（）若a随机选自区间0，4，b随机选自区间0，3，求方程有实根的概率考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题： 应用题；概率与统计分析： （I）根据判别式0得出一元二次方程有实根的条件为事件A，由a0，1
22、，2，3，4，b0，1，2，3，列出基本事件数，计算对应的概率即可；（II）利用几何概型求出对应的概率即可解答： 解：（I）设“关于x的一元二次方程x22ax+b2=0有实根”为事件A，由=（2a）24b20，得a2b2；因为a0，b0，所以ab时事件A发生；又a0，1，2，3，4，b0，1，2，3，所以它的基本事件共20个：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），（4，0），（4，1），（4，2），（4，3）；（3分）且事件A包含的基本事件有
23、14个：（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），（4，0），（4，1），（4，2），（4，3）；（4分）所以P（A）=；（5分）（II）因为a0，4，b0，3，则试验的全部结果构成区域=（a，b）|0a4，0b3，的面积为=34=12；（6分）事件A所构成的区域A=（a，b）|0a4，0b3，ab，A的面积为，如图所示；（8分）所以P（A）=（9分）点评： 本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，也考查了几何概型的应用问题，是基础题目一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项
24、是符合要求的11数列an满足a1=1，an+1=an3（nN*），则a4=（） A 10 B 8 C 8 D 10考点： 等差数列的通项公式 专题： 等差数列与等比数列分析： 由an+1=an3得到数列an是等差数列，进行求解即可解答： 解：an+1=an3，an+1an=3得数列an是公差d=3的等差数列，则a4=a1+3d=19=8，故选：C点评： 本题主要考查等差数列的应用，根据条件判断数列是等差数列是解决本题的关键12设a，bR，且ab，则下列结论中正确的是（） A l B C |a|b| D a3b3考点： 不等式的基本性质 专题： 不等式分析： 对于A，B，C，举反例即可判断，对于
25、D，根据幂函数的性质即可判断解答： 解：对于A，若a=1，b=1，则1，故A不成立，对于B，若a=1，b=1，则，故B不成立，对于C，若a=1，b=1，则|a|=|b|，故C不成立，对于D，对于幂函数y=x3为增函数，故a3b3，故D成立，故选：D点评： 本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，属于基础题13在等比数列an中，a1=2，a4=若am=215，则m=（） A 17 B 16 C 14 D 13考点： 等比数列的通项公式 专题： 等差数列与等比数列分析： 根据等比数列的通项公式进行求解即可解答： 解：a1=2，a4=q3=，则q=，am=215=a1qm1=2（）m1
26、=22m，2m=15，即m=17，故选：A点评： 本题主要考查等比数列通项公式的应用，根据条件求出公比是解决本题的关键14若实数x，y满足则z=x+3y的最大值是（） A 6 B 4 C D 0考点： 简单线性规划 专题： 不等式的解法及应用分析： 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可解答： 解：先根据约束条件画出可行域，当直线z=x+3y表示直线y=x+，当过点B（1，1）时，z最大是4；故选：B点评： 本小题主要考查线性规划问题，以及利用几何意义求最值，属于基础题15在ABC中，若asinA=bsin
27、B，则ABC的形状为（） A 等腰三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 等边三角形考点： 三角形的形状判断 专题： 解三角形分析： 由条件利用正弦定理可得sinA=sinB，故有a=b，可得ABC为等腰三角形解答： 解：ABC中，已知asinA=bsinB，由正弦定理可得 sinAsinA=sinBsinB，sinA=sinB，a=b，故ABC为等腰三角形，故选：A点评： 本题主要考查正弦定理的应用，考查运算能力，属于基本知识的考查16已知等差数列an的前n项和为Sn若S2k+10，则一定有（） A ak0 B Sk0 C ak+l0 D Sk+l0考点： 等差数列的前n项和 专题： 等
28、差数列与等比数列分析： 根据等差数列的性质以及前n项和公式进行推导即可解答： 解：S2k+1=（2k+1）=ak+l（2k+1）0，ak+l0，故选：C点评： 本题主要考查等差数列的性质，利用等差数列的前n项和公式进行转化是解决本题的关键17已知数列an的前n项的乘积为Tn=2nc，其中c为常数，nN*若a4=3，则c=（） A 4 B 3 C 2 D 1考点： 数列递推式 专题： 等差数列与等比数列分析： 利用a4=3计算即得结论解答： 解：Tn=2nc，a4=3，a4=3，解得：c=4，故选：A点评： 本题考查数列递推式，注意解题方法的积累，属于基础题18设不等式组表示的平面区域是W，则W
29、中的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数是（） A 231 B 230 C 219 D 218考点： 简单线性规划 专题： 数形结合；不等式的解法及应用分析： 由约束条件作出可行域，求出可行域内点的横坐标的范围，然后分别取范围内的整数x，求出对应的整数y，得到整点个数解答： 解：由约束条件作出平面区域是W，联立，解得A（80，60）；联立，解得B（60，40）分别取x=80，79，78，77，60，求出满足不等式组的整数y值，可得总的整点个数为231故选：A点评： 求平面区域的整点个数是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后分析平面区域内的点，易求出平面区域内的整点
30、个数，是中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分把答案填在题中横线上19不等式x22x的解集为（0，2）考点： 一元二次不等式的解法 专题： 不等式的解法及应用分析： 通过提公因式可因式分解，求对应方程的根，比较两根大小，写出不等式的解集解答： 解：不等式x22x化为：x22x0，可因式分解为x（x2）0，对应方程的实数根为：x1=0，x2=2，不等式x22x的解集为：（0，2）故答案为：（0，2）点评： 本题主要考查一元二次不等式的解法，用到了通过提公因式因式分解、比较两根大小20在ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=考点： 余弦定理 专题： 计算题；解三角形分析： 由
31、余弦定理得c2=a2+b22abcosC，代入数据，即可得到答案解答： 解：由余弦定理知，c2=a2+b22abcosC=3，所以c=故答案为：点评： 本题考查余弦定理及运用，考查运算能力，属于基础题21已知等差数列an的各项均为正整数，且a8=2015，则a1的最小值是6考点： 等差数列的通项公式 专题： 等差数列与等比数列分析： 根据等差数列的通项公式表示出a1=20157d，则当d取最大值时，即可得到结论解答： 解：设公差为d，则d为整数（d0），由a8=a1+7d=2015，得a1=20157d，2015=7287+6，当d=287时，a1=6最小，故答案为：6点评： 本题主要考查等差
32、数列通项公式的应用，比较基础22函数f（x）=x+（x1）的最小值是3；此时x=2考点： 基本不等式在最值问题中的应用 专题： 不等式的解法及应用分析： 由x1可得x10，函数y=+x=x1+1，利用基本不等式即可得出解答： 解：x1，x10函数y=+x=x1+12+1=3，当且仅当x=2时取等号函数y=+x的最小值是3此时x=2故答案为：3，2点评： 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形：x=x1+1，属于基础题23设aR，nN*，求和：l+a+a2+a3+an=考点： 等差数列的前n项和 专题： 等差数列与等比数列分析： 分a=0、a=1、a0且a1分别求解得答案解答： 解：当a=0
33、时，l+a+a2+a3+an=0；当a=1时，l+a+a2+a3+an=1+1+1=n+1；当a0且a1时，l+a+a2+a3+an=验证当a=0时，上式成立l+a+a2+a3+an=故答案为：点评： 本题考查等比数列的前n项和，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题24设数列an的通项公式为an=3n（nN*）数列bn定义如下：对任意mN*，bm是数列an中不大于32m的项的个数，则b3=243；数列bm的前m项和Sm=考点： 等比数列的性质 专题： 综合题；等差数列与等比数列分析： 利用数列bn定义如下：对任意mN*，bm是数列an中不大于32m的项的个数，可得bm=32m1，即可得出结论
34、解答： 解：由题意，3n36，n243，b3=243；由3n32m，n32m1，bm=32m1，Sm=故答案为：243，点评： 本题考查等比数列的性质与求和，考查学生的计算能力，比较基础三、解答题：本大题共4小题，共44分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤25（10分）（2015春西城区期末）已知数列an是首项为1，公比为q的等比数列（）证明：当0q1时，an是递减数列；（）若对任意kN*，都有ak，ak+2，ak+1成等差数列，求q的值考点： 等差数列与等比数列的综合 专题： 等差数列与等比数列分析： （I）运用等比数列的通项公式，求得an，再由an+1an，分解因式，结合条件即可得证；
35、（II）运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，化简整理，计算即可得到q解答： （I）证明：因为数列an是首项为1，公比为q的等比数列，所以an=qn1，nN*所以an+1an=qnqn1=qn1（q1），当0q1时，有qn10，q10，所以an+1an0，nN*所以an是递减数列（II）解：因为ak，ak+2，ak+1成等差数列，所以2ak+2（ak+ak+1）=0，其中kN*即2qk+1（qk1+qk）=0，整理得qk1（2q2q1）=0因为q0，所以2q2q1=0，解得q=1，或q=点评： 本题考查等差数列和等比数列的通项和性质，考查数列的单调性的证明，考查运算能力，属于中档题26（10
36、分）（2015春西城区期末）已知ABC为锐角三角形，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a=2csinA（）求角C；（）当c=2时，求：ABC面积的最大值考点： 正弦定理的应用；三角形的面积公式 专题： 综合题；解三角形分析： （）由a=2csinA，利用正弦定理，结合ABC为锐角三角形，a求角C；（）当c=2时，利用余弦定理，结合基本不等式，可得ab12，即可求：ABC面积的最大值解答： （I）解：由正弦定理得，（1分）将已知代入得sinC=（2分）因为ABC为锐角三角形，所以0C，（3分）所以C=（4分）（II）证明：由余弦定理得c2=a2+b22abcosC，（5分）即12=a2+b
37、2ab，（6分）又a2+b2ab2abab=ab所以ab12（8分）所以ABC的面积S=absinC=ab3，（9分）当且仅当a=b，即ABC为等边三角形时，ABC的面积取到3所以ABC面积的最大值为3（10分）点评： 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题27（12分）（2015春西城区期末）设mR，不等式mx2（3m+1）x+2（m+1）0的解集记为集合P（I）若P=（x|1x2），求m的值；（）当m0时，求集合P；（）若x|3x2P，求m的取值范围考点： 一元二次不等式的解法 专题： 不等式的解法及应用分析： （）因为P=x|1x2，所以
38、方程mx2（3m+1）x+2（m+1）=0的两根为1和2，根据根与系数的关系即可求出m的值；（）不等式mx2（3x+1）x+2（2m+1）0可化为（x2）mx（m+1）0，需要分类讨论，即得到不等式的解集；（）依题意，当x（3，2）时，不等式mx2（3m+1）x+2（m+1）0恒成立，分类讨论即可求出m的范围解答： 解：（I）因为P=x|1x2，所以方程mx2（3m+1）x+2（m+1）=0的两根为1和2将x=1代入上述方程，得m（1）2（3m+1）（1）+2（m+1）=0，解得m=（II）不等式mx2（3x+1）x+2（2m+1）0可化为（x2）mx（m+1）0当m0时，方程m（1）2（3m
39、+1）（1）+2（m+1）=0的两根为和2当=2，即m=1时，解得x2当2，即0m1时，解得x2或x当2，即m1时，解得x或x2综上，当0m1时，P=x|x2或x；当m=1时，P=x|xR，且x2；当m1时，P=x|x或x2（III）依题意，当x（3，2）时，不等式mx2（3m+1）x+2（m+1）0恒成立当m=0时，原不等式化为x+20，即P=x|x2，适合题意当m0时，由（II）可得0m1时，适合题意当m0时，因为=1+，所以P=x|x2此时必有3成立，解得综上，若x|3x2P，则m的取值范围是点评： 本题考查了一元二次不等式的解法，分类讨论是关键，属于中档题28（12分）（2015春西城
40、区期末）已知数列an的通项公式为an=2n+（1）n+1（1+n），其中是常数，nN*（I）当an=1时，求的值；（）数列an是否可能为等差数列？证明你的结论；（）若对于任意nN*，都有an0，求的取值范围考点： 数列递推式 专题： 等差数列与等比数列分析： （I）通过在an=2n+（1）n+1（1+n）中令n=2，计算即得结论；（II）通过an=2n+（1）n+1（1+n）（nN*）求出前4项的值，假设存在使an为等差数列，利用2a2=a1+a3可知=，验证即可得出结论；（III）通过an0可知（1）n，分n为正奇数、正偶数两种情况讨论即可解答： 解：（I）因为an=2n+（1）n+1（1+
41、n）（nN*），所以n=2时，a2=32（1分）由32=1，解得=2（2分）（II）结论：数列an不可能为等差数列证明如下：由an=2n+（1）n+1（1+n）（nN*），得a1=3+，a2=32，a3=7+3，a4=74（4分）若存在，使an为等差数列，则2a2=a1+a3，（5分）即2（32）=（3+）+（7+3），解得=（6分）于是，a2a1=3=，a4a3=7=，这与an为等差数列矛盾！所以，对任意实数，an都不可能是等差数列（7分）（III）由an0，得2n+（1）n+1（1+n）0，将上式变形为（1）n，其中nN*（i）当n为正偶数时，式化简为因为2随着正偶数n的增大而增大，欲使上式对于任意正偶数恒成立，则2=（9分）（ii）当n为正奇数时，式化简为因为随着正奇数n的增大而增大，欲使上式对于任意正奇数恒成立，则2（11分）综上，若对于任意nN*，都有an0，则的取值范围是2，）（12分）点评： 本题考查数列的递推式，注意解题方法的积累，属于中档题高考资源网版权所有，侵权必究！
