1、2016-2017学年广东省汕头市潮南区高二（上）期末试卷数学（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1 “|x1|2成立”是“x（x3）0成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2已知函数，则f（x）的图象（）A关于原点对称B关于y轴对称C关于x轴对称D关于直线y=x对称3已知某几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A24B24C24D244已知两条直线y=ax2和3x（a+2）y+1=0互相平行，则a等于（）A1或3B1或3C1或3D1或35为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需把函数y
2、=sin（2x+）的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度6已知变量x，y满足，则z=log4（2x+y+4）的最大值为（）AB1CD27已知圆C与直线xy=0及xy4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A（x+1）2+（y1）2=2 B（x1）2+（y+1）2=2C（x1）2+（y1）2=2 D（x+1）2+（y+1）2=28如图所示的算法流程图中，第3个输出的数是（）A1B2CD9公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（）A18B24C60D9010如图，矩形ABCD
3、中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机抽取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于（）ABCD11已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为1，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若AMF与AOF（其中O为坐标原点）的面积之比为3：1，则点A的坐标为（）A（2，2）B（4，4）C（4，4）D（2，2）12用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=，若A=1，2，B=x|x2+ax+1|=1，且A*B=1，由a的所有可能值构成的集合是S，那么C（S）等于（）A4B3C2D1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知命题p：xR，x2+x10 则命题p是14函
4、数y=（tanx1）cos2x的最大值是15已知ABC中AC=4，AB=2若G为ABC的重心，则=16已知平面，直线l，m满足：，=m，=l，lm，那么m； l； ； 可由上述条件可推出的结论有（请将你认为正确的结论的序号都填上）三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值18（12分）已知函数，f（x）=，数列an满足a1=1，an+1=f（an）（nN*）（I）求证数列是等差数列，并求数列an的通项公式；（II）记Sn=a1a2+a2a3+
5、.anan+1，求Sn19（12分）甲、乙二名射击运动员参加2011年广州举行亚运会的预选赛，他们分别射击了4次，成绩如下表（单位：环）甲56910乙6789（1）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（2）现要从中选派一人参加决赛，你认为选派哪位运动员参加比较合适？请说明理由20（12分）如图，已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴截面）BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线CC1的中点，已知AB=AC=AA1=4（1）求证：B1O平面AEO（2）求二面角B1AEO的余弦值21（12分）已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦
6、点构成的三角形的面积为（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点，点M（，0），求证： 为定值22（12分）已知集合D=（x1，x2）|x10，x20，x1+x2=k，其中k为正常数（1）设u=x1x2，求u的取值范围（2）求证：当k1时，不等式（x1）（x2）（）2对任意（x1，x2）D恒成立（3）求使不等式（x1）（x2）（）2对任意（x1，x2）D恒成立的k的范围2016-2017学年广东省汕头市潮南区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1 “|x1|2成立”是“x（x3）0成立”的（）A充分
7、不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题【分析】首先解出两个不等式，再比较x的范围，范围小的可以推出范围大的【解答】解：由|x1|2，得1x3，由x（x3）0，得0x3，故选B【点评】正确解出不等式，理解必要条件，充分条件的判断2已知函数，则f（x）的图象（）A关于原点对称B关于y轴对称C关于x轴对称D关于直线y=x对称【考点】函数奇偶性的判断【专题】函数的性质及应用【分析】先利用奇函数和偶函数的定义，判断出函数f（x）为奇函数，结合奇函数的图象关于原点对称，即可得到答案【解答】解：函数，函数f（x）的定义域为R，又
8、f（x）=f（x），根据奇函数的定义可知，f（x）为R上的奇函数，又奇函数的图象关于原点对称，f（x）的图象关于原点对称故选：A【点评】本题考查了函数奇偶性的判断利用奇函数和偶函数的定义即可确定函数的奇偶性，有关函数奇偶性的问题要注意，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称本题解题的关键就是判断函数的奇偶性属于中档题3已知某几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A24B24C24D24【考点】由三视图求面积、体积【专题】转化思想；空间位置关系与距离【分析】该几何体由一个长方体挖去一个半圆柱得到的【解答】解：该几何体由一个长方体挖去一个半圆柱
9、得到的该几何体的体积V=2343=24故选：C【点评】本题考查了三棱锥的三视图与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4已知两条直线y=ax2和3x（a+2）y+1=0互相平行，则a等于（）A1或3B1或3C1或3D1或3【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】方程思想；转化思想；直线与圆【分析】利用两条直线相互平行的充要条件即可得出【解答】解：两条直线y=ax2和3x（a+2）y+1=0互相平行，（a+2）0，解得a=1或3故选：D【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查推理能力与计算能力，属于基础题5为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需把函数y=sin
10、（2x+）的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】计算题【分析】y=sin（2x+）的图象即可得y=sin（2x+）的图象【解答】解：y=sin（2x+）的y=sin2（x+）+=sin（2x+），故选C【点评】本题考查三角函数图象的平移，关键在于掌握平移方向与平移单位，属于中档题6已知变量x，y满足，则z=log4（2x+y+4）的最大值为（）AB1CD2【考点】简单线性规划【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；不等式【分析】先根据约束条件画出可行域，欲求z=log4（2x+y+4）的最
11、大值，即要求z1=2x+y+4的最大值，再利用几何意义求最值，分析可得z1=2x+y+4表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解：作，的可行域如图：易知可行域为一个三角形，验证知在点A（1，2）时，z1=2x+y+4取得最大值8，z=log4（2x+y+4）最大是，故选：A【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题7（2009辽宁）已知圆C与直线xy=0及xy4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A（x+1）2+（y1）2=2B（x1）2+（y+1）2=2C（x1）2+（y1）2=2D（x+1）2+（y+1）2
12、=2【考点】圆的标准方程【分析】圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线xy=0及xy4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可【解答】解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（1，1）到两直线xy=0的距离是；圆心（1，1）到直线xy4=0的距离是故A错误故选B【点评】一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究8如图所示的算法流程图中，第3个输出的数是（）A1B2CD【考点】程序框图【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图【分析】根据框图的结构，依次计算循环体运行的N与A的值，即可得解【解答】解：
13、模拟执行程序框图，可得：A=1，N=1，循环体第一次运行，输出第一个数1，N=2，满足条件N5，A=，输出第二个数为，N=3，满足条件N5，A=2，输出第三个数为2，N=4，故输出第三个数为2故选：B【点评】本题考查了循环结构的程序框图，正确判断程序终止的条件是关键，属于基础题9（2009江西）公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（）A18B24C60D90【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式【专题】计算题【分析】由等比中项的定义可得a42=a3a7，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出a1和d，进而求出s10【解
14、答】解：a4是a3与a7的等比中项，a42=a3a7，即（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+6d），整理得2a1+3d=0，又，整理得2a1+7d=8，由联立，解得d=2，a1=3，故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式和等比中项的定义，比较简单10如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机抽取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于（）ABCD【考点】几何概型【专题】概率与统计【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答【解答】解：由几何概型的计算方法，
15、可以得出所求事件的概率为P=故选：D【点评】本题主要考查了几何概型，解决此类问题的关键是弄清几何测度，属于基础题11已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为1，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若AMF与AOF（其中O为坐标原点）的面积之比为3：1，则点A的坐标为（）A（2，2）B（4，4）C（4，4）D（2，2）【考点】抛物线的简单性质【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设A（t2，t），根据抛物线的定义算出|AM|=t2+1，而AMF与AOF的高相等，故面积比等于|AM|：|OF|=3，由此建立关于t的方程，解之得t=，即可得到点A的坐标【解答】
16、解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），准线l方程为x=1设A（t2，t），则根据抛物线的定义，得|AM|=t2+1，AMF与AOF（其中O为坐标原点）的面积之比为3：1，|AM|：|OF|=t2+1=3，可得t2=8，解之得t=点A的坐标为（2，）故选D【点评】本题给出抛物线中的三角形面积比，求点的坐标，着重考查了抛物线的定义与标准方程的知识，属于中档题12（2012宝安区校级模拟）用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=，若A=1，2，B=x|x2+ax+1|=1，且A*B=1，由a的所有可能值构成的集合是S，那么C（S）等于（）A4B3C2D1【考点】元素与集合关系的判断
17、【专题】计算题；压轴题；新定义；分类讨论【分析】根据A=1，2，B=x|x2+ax+1|=1，且A*B=1，可知集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，然后对方程|x2+ax+1|=1的根的个数进行讨论，即可求得a的所有可能值，进而可求C（S）【解答】解：|x2+ax+1|=1x2+ax+1=1 或x2+ax+1=1，即x2+ax=0 或x2+ax+2=0 ，A=1，2，且A*B=1，集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，1集合B是单元素集合，则方程有两相等实根，无实数根，a=0；2集合B是三元素集合，则方程有两不相等实根，有两个相等且异于的实数根，即，解得a=2，综上所述a=0或a=2
18、，C（S）=3故选B【点评】此题是中档题考查元素与集合关系的判断，以及学生的阅读能力和对新定义的理解与应用二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知命题p：xR，x2+x10 则命题p是xR，x2+x10【考点】特称命题；命题的否定【专题】阅读型【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论，写出命题的否定【解答】解：含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定故命题p：xR，x2+x10 则命题p是xR，x2+x10故答案为：xR，x2+x10【点评】本题考查特称命题、含逻辑连接词的否定形式，属于基础题14函数y=（tanx1）cos2x的最大值是【考点】复合三
19、角函数的单调性【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】将y=（tanx1）cos2x转化为y=sin（2x），利用正弦函数的性质即可求得其最大值【解答】解：y=（tanx1）cos2x=sinx cosxcos2x=（sin2xcos2x ）=sin（2x），xk+当x=k+（kZ）时，ymax=故答案为：【点评】本题考查复合三角函数的单调性，考查三角函数间的关系式，考查辅助角公式的应用及正弦函数的性质，考查转化思想与运算能力，属于中档题15（2013新郑市校级模拟）已知ABC中AC=4，AB=2若G为ABC的重心，则=4【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应
20、用【分析】由已知中ABC中AC=4，AB=2若G为ABC的重心，可得|=4，|=2， =（+），=，代入向量的数量积公式，可得答案【解答】解：ABC中AC=4，AB=2|=4，|=2G为ABC的重心，=（+）又=（+）（）=（22）=（164）=4故答案为：4【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量的数量积的运算，其中将已知条件转化为向量形式表示，是解答的关键16（2011盐城一模）已知平面，直线l，m满足：，=m，=l，lm，那么m； l； ； 可由上述条件可推出的结论有（请将你认为正确的结论的序号都填上）【考点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定【专题】综合题【分析】
21、由已知中平面，直线l，m满足：，=m，=l，lm，那么由面面垂直的性质定理及面面垂直的判定定理，我们可以分别判定四个答案的真假，进而得到结论【解答】解：若，=m，=l，lm，由于不一定成立，故m、错误；根据面面垂直的性质我们可得l，即正确；再由面面垂直的判定定理可得，即正确；故答案为：【点评】本题考查的知识点是平面与平面垂直的性质，平面与平面垂直的判定，其中熟练掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面垂直的判定、性质及相互转化是解答的关键三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）（2012浙江）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB（1）求角B的大小
22、；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值【考点】正弦定理；余弦定理【专题】解三角形【分析】（1）由bsinA=acosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，化简整理即可得出（2）由sinC=2sinA，可得c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c22accosB，代入计算即可得出【解答】解：（1）bsinA=acosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，sinA0，sinB=cosB，B（0，），可知：cosB0，否则矛盾tanB=，B=（2）sinC=2sinA，c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c22accosB，9=a2+c2ac，
23、把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形内角和定理与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）（2013和平县三模）已知函数，f（x）=，数列an满足a1=1，an+1=f（an）（nN*）（I）求证数列是等差数列，并求数列an的通项公式；（II）记Sn=a1a2+a2a3+.anan+1，求Sn【考点】数列与函数的综合；数列的求和【专题】综合题【分析】（I）直接利用an+1=f（an）得到再对其取倒数整理即可证数列是等差数列；进而求出数列an的通项公式；（II）利用（I）的结论以及所问问题的形式，直接利用裂项相消求和法即
24、可求Sn【解答】解：（I）由条件得，=3数列是首项为=1，公差d=3的等差数列=1+（n1）3=3n2故an=（II）anan+1=（）Sna1a2+a2a3+.anan+1= （1）+（）+（）=（1）=【点评】本题第二问主要考查了数列求和的裂项相消法裂项相消法一般适用于一数列的通项是一分式形式且分子为常数，而分母是某一等差数列相邻两项的乘积组成19（12分）（2012宝鸡模拟）甲、乙二名射击运动员参加2011年广州举行亚运会的预选赛，他们分别射击了4次，成绩如下表（单位：环）甲56910乙6789（1）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（2）现要从中选派一人参加决
25、赛，你认为选派哪位运动员参加比较合适？请说明理由【考点】等可能事件的概率；众数、中位数、平均数【专题】计算题【分析】（1）根据题意，分别记甲、乙被抽到的成绩为x、y，用（x，y）表示从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件，记甲的成绩比乙高为事件A，用列举法可得从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个和事件A的基本事件的数目，由的等可能事件的概率公式计算可得答案；（2）根据题意，分别求出甲乙两人成绩的平均数与方差，比较可得两人的平均数相等，但甲的方差大于乙的方差，由方差的意义，可得答案【解答】解：（1）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用（x，y）表示从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个的
26、基本事件，记甲的成绩比乙高为事件A，从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，有（5，6）、（5，7）、（5，8）、（5，9）、（6，6）、（6，7）、（6，8）、（6，9）、（9，6）、（9，7）、（9，8）、（9，9）、（10，6）、（10，7）、（10，8）、（10，9），共16个基本事件；则A包含（9，6）、（9，7）、（9，8）、（10，6）、（10，7）、（10，8）、（10，9），共7个基本事件；P（A）=；（）甲成绩的平均数为=7.5，乙成绩的平均数为=7.5，甲成绩的方差S12=4.25，乙成绩的方差S22=1.25，比较可得， =，而S12S22，即乙的成绩比较稳定；选派乙参加决
27、赛比较合适【点评】本题考查等可能事件的概率计算与数据的数字特征的计算，是基础题，但计算量较大；需要注意计算的准确性20（12分）如图，已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴截面）BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线CC1的中点，已知AB=AC=AA1=4（1）求证：B1O平面AEO（2）求二面角B1AEO的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【专题】证明题；数形结合；向量法；空间位置关系与距离【分析】（1）依题意可知，AA1平面ABC，BAC=90，建立空间直角坐标系Axyz，利用向量法能证明B1O平面AEO（2）求出平面AEO的法向量和平面B1AE的法向
28、量，利用向量法能求出二面角B1AEF的余弦值【解答】证明：（1）依题意可知，AA1平面ABC，BAC=90，如图建立空间直角坐标系Axyz，因为AB=AC=AA1=4，则A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），B1（4，0，4），C（0，4，0），O（2，2，0），（2分）=（2，2，4），=（2，2，2），=（2，2，0），（3分）=（2）2+2（2）+（4）（2）=0，B1OEO，=（2）2+22+（4）0=0，B1OAO，AOEO=O，AO，EO平面AEO，B1O平面AEO（6分）（2）由（1）知，平面AEO的法向量为=（2，2，4），（7分）设平面 B1AE的法向量为=（
29、x，y，z），则，令x=2，则=（2，2，2），（10分）cos=，二面角B1AEF的余弦值为（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用21（12分）已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点，点M（，0），求证： 为定值【考点】椭圆的简单性质【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）根据椭圆的性质列方程解出a，b；（2）联立方程组消元，得出A，B坐标的关系，代入向量的数量
30、积公式计算即可【解答】解：（1）由题意得，解得a2=5，b2=，椭圆方程为（2）将y=k（x+1）代入，得（1+3k2）x2+6k2x+3k25=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=y1y2=k2（x1+1）（x2+1）=k2x1x2+k2（x1+x2）+k2，=（x1+，y1），=（x2+，y2），=（x1+）（x2+）+y1y2=（1+k2）x1x2+（+k2）（x1+x2）+k2=（1+k）（+k2）+k2=+k2=【点评】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题22（12分）已知集合D=（x1，x2）|x10，x20，x1+x2=k，其中k
31、为正常数（1）设u=x1x2，求u的取值范围（2）求证：当k1时，不等式（x1）（x2）（）2对任意（x1，x2）D恒成立（3）求使不等式（x1）（x2）（）2对任意（x1，x2）D恒成立的k的范围【考点】集合的表示法【专题】证明题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用【分析】（1）u=x1x2（）2=，由此能求出的取值范围（2）（x1）（x2）=+2=，由此能证明当k1时，不等式（x1）（x2）（）2对任意（x1，x2）D恒成立（3）（x1）（x2）（）2=，要使不等式（x1）（x2）（）2恒成立，只需满足4k2x1x24k20恒成立，由此能求出k的范围【解答】解：（1）集合D=（x1，x2
32、）|x10，x20，x1+x2=k，其中k为正常数u=x1x2（）2=，当且仅当时等号成立，故的取值范围为（0，（2分）（2）（x1）（x2）=+2=（4分）由0，又k1，k210，由定义法可得（x1）（x2）在（0，上是增函数，（6分）（x1）（x2）=+2=（）2当k1时，不等式（x1）（x2）（）2对任意（x1，x2）D恒成立（7分）（3）（x1）（x2）（）2=（）（）（）=，x1+x2=k，（x1）（x2）（）2=，（10分）要使不等式（x1）（x2）（）2恒成立，只需满足4k2x1x24k20恒成立，即x1x2恒成立，由（1）知0，所以，即k4+16k2160，解得0k2，使不等式（x1）（x2）（）2对任意（x1，x2）D恒成立的k的范围是（0，2（12分）【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用
