1、2016-2017学年北京市密云县高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1设集合A=0，1，2，3，集合B=1，1，则AB=（）A1B1，1C1，0D1，0，12函数y=log2（x+2）的定义域是（）A（，2）B（，2C（2，+）D2，+）3sin240等于（）ABCD4为了得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象上每一点（）A向左平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向右平移个单位长度5函数f（x）=3x+2x3的零点所在的区间是（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）6
2、奇函数f（x）在（，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式f（x）0的解集是（）A（，2）（0，2）B（，0）（2，+）C（2，0）（0，2）D（2，0）（2，+）7某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元） 满足关系f（x）=，已知某家庭今年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34 元二月份25m314 元三月份35m319 元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（）元A10.5B10C11.5D118已知函数f（x）=ax2（1x2）与g（x）=2x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A2，1B1，1C1，3D3，+二、填空题：本大
3、题共6小题，每小题5分，共30分.9已知向量与的夹角为60，且|=1，|=2；则=10已知（0，），sin=，则cos=11已知函数f（x）=sin（x+）一个周期的图象（如图），则这个函数的解析式为12如图，在正方形ABCD中，E为BC边中点，若=+，则+=13已知函数y=ax，y=xb，y=logcx的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（用“”号连接）14已知函数，对于上的任意x1，x2，有如下条件：；|x1|x2；x1|x2|；其中能使g（x1）g（x2）恒成立的条件序号是三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15已知为锐角，且tan=（）求tan
4、（+）的值；（）求的值16已知向量，（）若，共线，求x的值；（）若，求x的值；（）当x=2时，求与夹角的余弦值17已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx），xR（）求函数f（x）的最小正周期；（）求函数f（x）的单调递增区间；（）求函数f（x）在区间，上的最小值和最大值18已知函数f（x）=2sinxcos2x（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值19已知a，b为常数，且a0，f（x）=ax2+bx，f（2）=0（）若方程f（x）x=0有唯一实数根，求函数f（x）的解析式；（）当a=1时，求函数f（x）在区间1，2上的最大值与最小值；（）当x2时，不等式f（x）
5、2a恒成立，求实数a的取值范围20如果定义在R上的函数f（x），对任意的xR，都有f（x）f（x），则称该函数是“函数”（） 分别判断下列函数：y=2x；y=2x+1； y=x22x3，是否为“函数”？（直接写出结论）（） 若函数f（x）=sinx+cosx+a是“函数”，求实数a的取值范围；（） 已知f（x）=是“函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B2016-2017学年北京市密云县高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1设集合A=0，1，2，3，集合B=1，1，则AB=（）A1
6、B1，1C1，0D1，0，1【考点】交集及其运算【分析】利用交集定义直接求解【解答】解：集合A=0，1，2，3，集合B=1，1，AB=1故选：A2函数y=log2（x+2）的定义域是（）A（，2）B（，2C（2，+）D2，+）【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据对数函数的真数大于0，列出不等式求出解集即可【解答】解：函数y=log2（x+2），x+20，解得x2，函数y的定义域是（2，+）故选：C3sin240等于（）ABCD【考点】三角函数的化简求值【分析】由诱导公式sin=sin和特殊角的三角函数值求出即可【解答】解：根据诱导公式sin=sin得：sin240=sin=sin60=故选
7、：D4为了得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象上每一点（）A向左平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：将函数y=sin2x的图象上每一点向左平移个单位长度，可得函数y=sin2（x+）=2sin（2x+）的图象，故选：B5函数f（x）=3x+2x3的零点所在的区间是（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）【考点】函数零点的判定定理【分析】由函数的解析式求得f（0）f（1）0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=3x
8、+2x3的零点所在的区间【解答】解：函数f（x）=3x+2x3在R上单调递增，f（0）=1+03=20，f（1）=3+23=20，f（0）f（1）0根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=3x+2x3的零点所在的区间是（0，1），故选：C6奇函数f（x）在（，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式f（x）0的解集是（）A（，2）（0，2）B（，0）（2，+）C（2，0）（0，2）D（2，0）（2，+）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据奇函数的性质求出f（2）=0，由条件画出函数图象示意图，结合图象即可求出不等式的解集【解答】解：f（x）为奇函数，且f（2）=0，在（，0）是减函数，f（
9、2）=f（2）=0，f（x）在（0，+）内是减函数，函数图象示意图，不等式f（x）0的解集为（，2）（0，2），故选A7某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元） 满足关系f（x）=，已知某家庭今年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34 元二月份25m314 元三月份35m319 元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（）元A10.5B10C11.5D11【考点】函数的表示方法【分析】根据待定系数法求出A、B、C的值，可得f（x）的表达式，从而求出f（20）的值即可【解答】解：由题意得：C=4，将（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（xA），得
10、：，A=5，B=，故x=20时：f（20）=4+（205）=11.5，故选：C8已知函数f（x）=ax2（1x2）与g（x）=2x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A2，1B1，1C1，3D3，+【考点】函数与方程的综合运用【分析】由已知，得到方程ax2=（2x+1）a=x22x1在区间1，2上有解，构造函数g（x）=x22x1，求出它的值域，得到a的范围即可【解答】解：若函数f（x）=ax2（1x2）与g（x）=2x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则方程ax2=（2x+1）a=x22x1在区间1，2上有解，令g（x）=x22x1，1x2，由g（x）=x22x1的图象
11、是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，故当x=1时，g（x）取最小值2，当x=2时，函数取最大值1，故a2，1，故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9已知向量与的夹角为60，且|=1，|=2；则=1【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量数量积的定义写出运算结果即可【解答】解：向量与的夹角为60，且|=1，|=2；则=|cos60=12=1故答案为：110已知（0，），sin=，则cos=【考点】三角函数的化简求值【分析】直接利用同角三角函数的基本关系式化简求解即可【解答】解：（0，），sin=，则cos=故答案为：11已知函数f（x）=sin（x+）一个周
12、期的图象（如图），则这个函数的解析式为f（x）=【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由图象的顶点坐标求出A，由周期求出，通过图象经过（，1），求出，从而得到f（x）的解析式【解答】解：由函数的图象可得A=1， T=，解得：T=，解得=2图象经过（，1），可得：1=sin（2+），解得：=2k+，kZ，由于：|，可得：=，故f（x）的解析式为：f（x）=故答案为：f（x）=12如图，在正方形ABCD中，E为BC边中点，若=+，则+=【考点】向量在几何中的应用【分析】利用正方形的性质、向量三角形法则、平面向量基本定理即可得出【解答】解：，=+=+=+，=1，则+=故答案为：
13、13已知函数y=ax，y=xb，y=logcx的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为bac（用“”号连接）【考点】函数的图象【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的性质，推出a，b，c的范围判断即可【解答】解：函数y=ax，y=xb，y=logcx的图象如图所示，由指数函数y=ax，x=2时，y（1，2）；对数函数y=logcx，x=2，y（0，1）；幂函数y=xb，x=2，y（1，2）；可得a（1，2），b（0，1），c（2，+）可得bac故答案为：bac14已知函数，对于上的任意x1，x2，有如下条件：；|x1|x2；x1|x2|；其中能使g（x1）g（x2）恒成立的条件序号是【考点】利
14、用导数研究函数的单调性【分析】说明函数f（x）的奇偶性，利用导数说明函数f（x）单调性，由以上两性质可得f（x）图象类似于开口向上的抛物线，得出那个x离y轴远，对应的函数值就大【解答】解：g（x）= （x）2cos（x）= x2cosx=g（x），g（x）是偶函数，g（x）图象关于y轴对称，g（x）=x+sinx0，x（0，g（x）在（0，上是增函数，在，0）是减函数，故x1|x2|；时，g（x1）g（x2）恒成立，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15已知为锐角，且tan=（）求tan（+）的值；（）求的值【考点】三角函数的化简求值【分析】（
15、）利用两角和的正切公式求值；（）利用三角函数的基本关系式求值【解答】解：（ I）tan（+）=2 （ II）因为=，所以cos=3sin. =816已知向量，（）若，共线，求x的值；（）若，求x的值；（）当x=2时，求与夹角的余弦值【考点】平面向量数量积的运算；向量的几何表示；平面向量的坐标运算【分析】（）根据题意，由向量平行的坐标公式可得2x=4，解可得x的值，即可得答案；（）若，则有=0，结合向量数量积的坐标可得4x+（2）1=0，即4x2=0，解可得x的值，即可得答案；（）根据题意，由x的值可得的坐标，由向量的坐标计算公式可得|、|2+|和（2+）的值，结合，计算可得答案【解答】解：（
16、I）根据题意，向量，若，则有2x=4，解可得x=2（ II）若，则有=0，又由向量，则有4x+（2）1=0，即4x2=0，解可得，（ III）根据题意，若，则有=（8，0），17已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx），xR（）求函数f（x）的最小正周期；（）求函数f（x）的单调递增区间；（）求函数f（x）在区间，上的最小值和最大值【考点】三角函数的最值【分析】（ I）化函数f（x）为正弦型函数，求出f（x）的最小正周期；（）根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调增区间；（III）根据x的取值范围求出2x+的取值范围，从而求出f（x）的最值【解答】解：（ I）函数f（x）=2cosx
17、（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1，函数f（x）的最小正周期为：T=；（） 由，解得，函数f（x）的单调递增区间为（kZ）；（ III）由，得，令2x+=，解得x=，f（x）min=（）+1=0，令2x+=，解得x=，f（x）max=1+1=+118已知函数f（x）=2sinxcos2x（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）将f（），f（）求出大小后比较即可（2）将f（x）化简，由此得到最大值【解答】解：（1）f（）=，f（）=，f（）f（），（2）f（x
18、）=2sinxcos2x=2sinx1+2sin2x，=2（sinx）2，函数f（x）的最大值为319已知a，b为常数，且a0，f（x）=ax2+bx，f（2）=0（）若方程f（x）x=0有唯一实数根，求函数f（x）的解析式；（）当a=1时，求函数f（x）在区间1，2上的最大值与最小值；（）当x2时，不等式f（x）2a恒成立，求实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值【分析】（ I）方程f（x）x=0有唯一实数根，推出a的关系式求解即可（II）利用a=1，化简f（x）=x22x，x1，2，通过二次函数的性质求解即可（）解法一、当x2时，不等式f（x）2a恒成立，推出在区
19、间2，+）上恒成立，设，利用函数的单调性求解函数的最值，推出结论解法二，当x2时，不等式f（x）2a恒成立，x2 时，f（x）的最小值2a，当a0时，当a0时，通过函数的单调性以及函数的最值，推出a的范围【解答】（本小题共13分）解：f（2）=0，2a+b=0，f（x）=a（x22x）（ I）方程f（x）x=0有唯一实数根，即方程ax2（2a+1）x=0有唯一解，（2a+1）2=0，解得（II）a=1f（x）=x22x，x1，2若f（x）max=f（1）=3若f（x）min=f（1）=1（）解法一、当x2时，不等式f（x）2a恒成立，即：在区间2，+）上恒成立，设，显然函数g（x）在区间2，+
20、）上是减函数，gmax（x）=g（2）=2当且仅当agmax（x）时，不等式f（x）2a2在区间2，+）上恒成立，因此a2解法二、因为 当x2时，不等式f（x）2a恒成立，所以 x2 时，f（x）的最小值2a当a0时，f（x）=a（x22x）在2，+）单调递减，f（x）0恒成立而2a0所以a0时不符合题意 当a0时，f（x）=a（x22x）在2，+）单调递增，f（x）的最小值为f（2）=0所以 02a，即a2即可综上所述，a220如果定义在R上的函数f（x），对任意的xR，都有f（x）f（x），则称该函数是“函数”（） 分别判断下列函数：y=2x；y=2x+1； y=x22x3，是否为“函数”
21、？（直接写出结论）（） 若函数f（x）=sinx+cosx+a是“函数”，求实数a的取值范围；（） 已知f（x）=是“函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B【考点】函数与方程的综合运用【分析】（）根据“函数”的定义判定、是“ 函数”，不是“函数”；（）由题意，对任意的xR，f（x）+f（x）0，故f（x）+f（x）=2cosx+2a由题意，对任意的xR，2cosx+2a0，即acosx即可得实数a的取值范围（）（1）对任意的x0分（a）若xA且xA，（b）若xB且xB，验证（2）假设存在x00，使得x0A，则由x0，故f（x0）f（）（a）若，则f（）=，矛盾，（b）若，则f（）=，
22、矛盾（3）假设0B，则f（0）=f（0）=0，矛盾故0A，故A=0，+），B=（，0）【解答】解：（）、是“ 函数”，不是“函数”（）由题意，对任意的xR，f（x）f（x），即f（x）+f（x）0，因为f（x）=sinx+cosx+a，所以f（x）=sinx+cosx+a故f（x）+f（x）=2cosx+2a由题意，对任意的xR，2cosx+2a0，即acosx故实数a的取值范围为（，1）（1，+）（）（1）对任意的x0（a）若xA且xA，则xx，f（x）=f（x），这与y=f（x）在R上单调递增矛盾，（舍），（b）若xB且xB，则f（x）=x=f（x），这与y=f（x）是“函数”矛盾，（舍）此时，由y=f（x）的定义域为R，故对任意的x0，x与x恰有一个属于A，另一个属于B（2）假设存在x00，使得x0A，则由x0，故f（x0）f（）（a）若，则f（）=，矛盾，（b）若，则f（）=，矛盾综上，对任意的x0，xA，故xB，即（，0）B，则（0，+）A（3）假设0B，则f（0）=f（0）=0，矛盾故0A故A=0，+），B=（，0）经检验A=0，+），B=（，0）符合题意 2017年3月15日
