1、第一讲检测(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.与极坐标-2,6不表示同一点的极坐标是()A.2,76B.2,-76C.-2,-116D.-2,136答案B2.将曲线F(x,y)=0上的点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩为原来的13,得到的曲线方程为()A.Fx2,3y=0B.F2x,y3=0C.F3x,y2=0D.Fx3,2y=0解析设(x,y)经过伸缩变换变为(x,y),所以x=2x,y=13y,则x=12x,y=3y,代入F(x,y)=0,得F12x,3y=0.答案A3.在空间直角坐标
2、系中,点(2,2,1)关于z轴对称的点的柱坐标为()A.2,4,1B.22,4,1C.2,54,1D.22,54,1解析(2,2,1)关于z轴对称的点的坐标为(-2,-2,1).设其柱坐标为(,z),则有-2=cos,-2=sin,z=1,可得=x2+y2=(-2)2+(-2)2=2,tan =yx=1.因为点(-2,-2,1)在第卦限,所以=54.故点(-2,-2,1)的柱坐标为2,54,1.答案C4.(2018北京西城区一模)已知圆的方程为x2+y2-2y=0.以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则该圆的极坐标方程为()A.=-2sin B.=2sin C.=-2cos D.=2c
3、os 解析由圆的方程为x2+y2-2y=0,可知此圆的极坐标方程为2=2sin ,即=2sin .答案B5.极坐标方程4sin22=5表示的曲线是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析因为4sin22=5,所以41-cos2=2-2cos =5,化为直角坐标方程为2x2+y2-2x=5,即y2=5x+254,该方程表示抛物线.答案D6.在极坐标系中有如下三个结论:点P在曲线C上,则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程;tan =-33(0)与=56(0)表示同一条曲线;=3与=-3表示同一条曲线.其中正确的是()A.B.C.D.解析在平面直角坐标系中,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在
4、极坐标系中,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程,故是错误的;tan =-33(0)不仅表示=56(0)这条射线,还表示=116(0)这条射线,故不对;=3与=-3的差别仅在于方向不同,但都表示一个半径为3的圆,故正确.答案D7.在极坐标系中,若等边三角形ABC的两个顶点是A2,4,B2,54,则顶点C的坐标可能是()A.4,34B.23,34C.(23,)D.(3,)解析如图,由题设可知A,B两点关于极点O对称,即O是线段AB的中点.因为|AB|=4,ABC为等边三角形,所以|OC|=23,AOC=2,点C的极角=4+2=34或54+2=74,即点C的极坐标为23,34或23,74.答案B
5、8.在同一坐标系中,极坐标方程=cos 与cos =12表示的图形是()解析把cos =12化为直角坐标方程,即为x=12,又圆=cos 的圆心坐标为12,0,半径为12,故选B.答案B9.下列极坐标方程表示圆的是()A.=1B.=2C.sin =1D.(sin +cos )=1解析=1化成直角坐标方程为x2+y2=1,它表示圆心在原点、半径为1的圆;=2化成直角坐标方程为x=0,它表示直线;sin =1化成直角坐标方程为y=1,它表示直线;(sin +cos )=1化成直角坐标方程为x+y=1,它表示直线.故选A.答案A10.在极坐标系中,曲线=2cos 上的动点P与定点Q1,2的最近距离等
6、于()A.2-1B.5-1C.1D.2解析将=2cos 化成直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,点Q的直角坐标为(0,1),则点P到点Q的最短距离为点Q与圆心(1,0)的距离减半径,即2-1.答案A二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在题中的横线上)11.在极坐标系中,点2,2关于直线cos =1的对称点的极坐标为.解析点2,2的直角坐标为(0,2),直线cos =1的直角坐标方程为x=1,所以点(0,2)关于x=1的对称点为(2,2),它的极坐标为22,4.答案22,412.两条直线sin+4=2 016,sin-4=2 017的位置关系是.解析将两条直线的极坐标方程
7、化为直角坐标方程分别为x+y=2 0162,y-x=2 0172,故两条直线垂直.答案垂直13.在极坐标系中,圆=2上的点到直线(cos +3sin )=6的距离的最小值是.解析圆的直角坐标方程为x2+y2=4,直线的直角坐标方程为x+3y-6=0,所以圆心到直线的距离为|-6|1+3=3.故圆上的点到直线的距离的最小值为1.答案114.已知Q是圆=2rcos 上除极点外的任意一点,过点Q作圆的切线,再过极点O作该切线的垂线,设垂足为M,则点M的轨迹的极坐标方程为.解析设M(,)(0),Q(1,1),如图,连接OQ,QP,PQMQ.OMPQ,|OP|=|PQ|.=21,1=2rcos 1,=1
8、cos 1.由式可得=2rcos22.故点M的轨迹的极坐标方程为=2rcos22(0).答案=2rcos22(0)15.在极坐标系中,由三条直线=0,=3,cos +sin =1围成的图形的面积是.解析因为三条直线=0,=3,cos +sin =1在平面直角坐标系下对应的直线方程为y=0,y=3x,x+y=1.三条直线围成的图形(阴影部分)如图所示.则点A(1,0),B3-12,3-32.所以SAOB=123-321=3-34.答案3-34三、解答题(本大题共5小题,共50分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(10分)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换x=2x,y=2y后,曲
9、线C变为曲线(x-5)2+(y+6)2=1,求曲线C的方程,并判断其形状.解将x=2x,y=2y代入(x-5)2+(y+6)2=1,得(2x-5)2+(2y+6)2=1,即x-522+(y+3)2=14.故曲线C是以52,-3为圆心,12为半径的圆.17.(10分)在极坐标系中,求以点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程.解如图,设P(,)为圆上任意一点,连接OP,OC,CP,过点C作CDOP于点D.|CO|=|CP|,|OP|=2|DO|.在RtCDO中,DOC=|-1|,|DO|=cos(-1).|OP|=2cos(-1).因此所求圆的极坐标方程为=2cos(-1).18.(10分)已知曲
10、线C1,C2的极坐标方程分别为cos =3,=4cos 0,02,求曲线C1与C2交点的极坐标.解cos=3,=4cos,4cos2 =3.2(1+cos 2)=3.cos 2=12.02,=6.代入得=23.C1与C2交点的极坐标为23,6.19.(10分)在极坐标系中,曲线L:sin2=2cos ,过点A(5,)为锐角,且tan=34作平行于=4(R)的直线l,且l与曲线L分别交于B,C两点.(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,取与极坐标相同的单位长度,建立平面直角坐标系,写出曲线L和直线l的直角坐标方程;(2)求|BC|的长.解(1)由题意得点A的直角坐标为(4,3),曲线L的直角坐
11、标方程为y2=2x,直线l的直角坐标方程为y=x-1.(2)设B(x1,y1),C(x2,y2),联立y2=2x,y=x-1.把式代入式并整理,得x2-4x+1=0.由根与系数的关系,得x1+x2=4,x1x2=1.由弦长公式得|BC|=1+k2|x1-x2|=26.20.(10分)在极坐标系中,O为极点,已知圆C的半径为2,圆心的极坐标为2,3.(1)求圆C的极坐标方程;(2)若点P是圆C上一动点,点Q满足3OP=OQ,以极点O为原点,以极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,求点Q的轨迹的直角坐标方程.解(1)设M(,)(0)是圆C上除极点外的任意一点,过圆心C作CHOM于点H,则在RtCOH中,|OH|=|OC|cosCOH.COH=COM=-3,|OH|=12|OM|=12,|OC|=2,12=2cos-3,即=4cos-3(0).又圆经过极点,故=4cos-3为所求圆C的极坐标方程.(2)设点Q的极坐标为(1,1),3OP=OQ,点P的极坐标为131,1.将其代入圆C的极坐标方程得131=4cos1-3,即1=6cos 1+63sin 1.12=61cos 1+631sin 1.令x=1cos 1,y=1sin 1,得x2+y2=6x+63y.故点Q的轨迹的直角坐标方程为x2+y2-6x-63y=0.
