1、恒成立与存在性问题1恒成立问题1已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若时，恒成立，求的取值范围【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】（1）的定义域为，当时，恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，所以在上单调递增；令，解得，所以在上单调递减，综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减（2），则有，当时，在上单调递增，所以，满足题意；当时，且，当时，有，使时，单调递减，使得，不合题意，的取值范围为2已知函数（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意，都有，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）解：当时，函数，定义域为，又，所以，所以曲线在点处的切线方程
2、为，即（2）解：若在上恒成立，即在上恒成立，可令，则，令，可解得，当时，即时，在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以恒成立，即时，在上恒成立，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时，又，即，不满足恒成立，故舍去，综上可知：实数的取值范围是3已知函数（1）若函数f(x)的图象在点处的切线方程为，求函数f(x)的极小值；（2）若a1，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围【答案】（1）2；（2）【解析】（1）因为的定义域为(0，)，所以由函数f(x)的图象在点处的切线方程为，得，解得a1此时令，得x1或当和时，f(x)0；当时，f(x)0所以函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单
3、调递减，所以当x1时，函数f(x)取得极小值f(1)ln 1132（2）由a1得f(x)ln xx23x因为对于任意，当时，恒成立，所以对于任意，当时，恒成立，所以函数在1，10上单调递减令 x1，10，所以在1，10上恒成立，则在1，10上恒成立设，则当x1，10时，F(x)0，所以函数F(x)在1，10上单调递减，所以，所以，故实数m的取值范围为4已知函数（1）讨论的单调性；（2）若函数，不等式在上恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；（2）【解析】（1）当时，在上单调递增；当时，令，得当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，综上所述：当
4、时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增（2）由题意，函数，且在上恒成立，先由，可得，当时，单调递减；当时，单调递增，当时，函数再令，且，可得，当时，单调递减；当时，单调递增，当，函数取得最小值，为，即在区间上恒成立由（1）知，当时，在上单调递增，在上恒成立，符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上不恒成立，综上可得，实数a的取值范围是2存在性问题1已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】当时，当，时，当，时，令，则，当时，；当时，；综上所述，；由题意，得两个函数的值域的交集非空，所以，解得，故选B2已知函数的定义域为，当时，若对，使得，则正实数的取值
5、范围为（）ABCD【答案】D【解析】对，使得，当时，当时，在上单调递增，由得，又，在上为增函数，的取值范围为，故选D3已知函数，若，都，使成立，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】D【解析】，都，使成立，；当时，在上单调递减，在上单调递增，又时，；时，；，当时，；当，即时，在上单调递增，解得，；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，解得或，；当，即时，在上单调递减，解得，综上所述：的取值范围为，故选D4已知，若对，使得，则a的取值范围是（）A2，5BCD【答案】A【解析】，所以在1，2递减，在（2，3递增，可得的值域为，对称轴为，在1，3递增，可得的值域为，若对，使得，可得的值域为的值域的子
6、集则，且，解得，故选A5已知，若，使得成立，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】由，得，即，记，当时，单调递减；当时，单调递增，记，时，单调递减；当时，单调递增，故选A6已知函数，其中a0（1）若，讨论函数的单调性；（2）是否存在实数a，对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）在单调递增，单调递减；（2）存在；【解析】（1）时，当时，；当时，在单调递增，单调递减（2）存在满足条件的实数a，且实数a的值为理由如下：，(i)当时，在0，1上单调递减，则，此时不满足题意；(ii)当时，在单调递增，单调递减，当时，即，在0，1单调递减，同上，此
7、时不满足题意；当时，即时，在单调递增，单调递减，当时，对任意，此时不满足题意；当时，即，在0，1单调递增，令，易知在0，1单调递减，若对任意，总存在，使得，即使得，即，综上所述，存在满足题意的实数a，且实数a的值为7设函数（1）若是函数的一个极值点，试求出a关于b的关系式（用a表示b），并确定的单调区间；（2）在（1）的条件下，设，函数若存在，使得成立，求a的取值范围【答案】（1），单调区间见解析；（2）【解析】（1），是函数的一个极值点，即，解得，则，令，即，解得或，是函数的一个极值点，当，即，在和上单调递增，在上单调递减；当，即，在和上单调递增，在上单调递减，综上：，的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为（2）由（1）知，当时，在单调递减，在单调递增，函数在上的最小值为，函数在上的值域为，即，在上为增函数且，若存在，使得成立，只需与之间的最小距离小于1，即，解得，综上：当时，存在，使得成立
