1、章末综合测评(一) 立体几何初步(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若a，b是异面直线，直线ca，则c与b的位置关系是()A相交B异面C平行D异面或相交【解析】根据空间两条直线的位置关系和公理4可知c与b异面或相交，但不可能平行【答案】D2下列说法不正确的是()A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B同一平面的两条垂线一定共面C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【解析】A、B、C显然正确易知过一条直线有无
2、数个平面与已知平面垂直选D.【答案】D3(2016太原高二检测)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面【解析】对于A，通过常见的图形正方体判断，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，故A错；对于B，因为l1l2，所以l1，l2所成的角是90，又因为l2l3，所以l1，l3所成的角是90，所以l1l3，故B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错故选B.【答案】B4设a、b为两条直线，
3、、为两个平面，则正确的命题是() 【导学号：60870050】A若a、b与所成的角相等，则abB若a，b，则abC若a，b，ab，则D若a，b，则ab【解析】A中，a、b可以平行、相交或异面；B中，a、b可以平行或异面；C中，、可以平行或相交【答案】D5(2016山西山大附中高二检测)如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()图1A45B60C90D120【解析】如图，连接A1B、BC1、A1C1，则A1BBC1A1C1，且EFA1B、GHBC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于60.【答案】B6
4、设l为直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是()A若l，l，则B若l，l，则C若l，l，则D若，l，则l【解析】选项A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故选项A错误；选项B，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项B正确；选项C，由条件应得，故选项C错误；选项D，l与的位置不确定，故选项D错误故选B.【答案】B7(2015洛阳高一检测)如图2，ADB和ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，且BAC60，下列说法中错误的是()图2AAD平面BDCBBD平面ADCCDC平面ABDDBC平面ABD【解析】由题可知，ADBD，ADDC，所以AD平面BDC，又ABD与ADC均为以D为直角顶点的
5、等腰直角三角形，所以ABAC，BDDCAB.又BAC60，所以ABC为等边三角形，故BCABBD，所以BDC90，即BDDC.所以BD平面ADC，同理DC平面ABD.所以A、B、C项均正确选D.【答案】D8正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角为()A30B45C60D90【解析】由棱锥体积公式可得底面边长为2，高为3，在底面正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为tan (设为所求平面角)，所以二面角为60，选C.【答案】C9将正方形ABCD沿BD折成直二
6、面角，M为CD的中点，则AMD的大小是()A45B30C60D90【解析】如图，设正方形边长为a，作AOBD，则AMa，又ADa，DM，AD2DM2AM2，AMD90.【答案】D10在矩形ABCD中，若AB3，BC4，PA平面AC，且PA1，则点P到对角线BD的距离为()A. B.C. D.【解析】如图，过点A作AEBD于点E，连接PE.PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，BD平面PAE，BDPE.AE，PA1，PE.【答案】B11(2016大连高一检测)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角
7、的大小为()A75B60C45D30【解析】如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为ABC的中心，由题意知：PO平面ABC，连接OA，则PAO即为PA与平面ABC所成的角在正三角形ABC中，ABBCAC，则S()2，VABCA1B1C1SPO，PO.又AO1，tan PAO，PAO60.【答案】B12正方体ABCDA1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是()A点H是A1BD的垂心BAH平面CB1D1CAH的延长线经过点C1D直线AH和BB1所成的角为45【解析】因为AH平面A1BD，BD平面A1BD，所以BDAH.又BDAA1，且AHAA1A.所
8、以BD平面AA1H.又A1H平面AA1H.所以A1HBD，同理可证BHA1D，所以点H是A1BD的垂心，A正确因为平面A1BD平面CB1D1，所以AH平面CB1D1，B正确易证AC1平面A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC1和AH重合故C正确因为AA1BB1，所以A1AH为直线AH和BB1所成的角因为AA1H45，所以A1AH45，故D错误【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13设平面平面，A、C，B、D，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面，之间，AS8，BS6，CS12，则SD_.【解析】由面面平行的性质得ACBD，
9、解得SD9.【答案】914如图3，四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：_时，SC平面EBD.图3【解析】当E是SA的中点时，连接EB，ED，AC.设AC与BD的交点为O，连接EO.四边形ABCD是平行四边形，点O是AC的中点又E是SA的中点，OE是SAC的中位线OESC.SC平面EBD，OE平面EBD，SC平面EBD.【答案】E是SA的中点15如图4所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN等于_. 【导学号：60870051】图4【解析】B1C1平面A1ABB1，MN平面A1ABB1，B1
10、C1MN，又B1MN为直角，B1MMN，而B1MB1C1B1.MN平面MB1C1，又MC1平面MB1C1，MNMC1，C1MN90.【答案】9016已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则棱AB与PD所在直线垂直；平面PBC与平面ABCD垂直；PCD的面积大于PAB的面积；直线AE与直线BF是异面直线以上结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)【解析】(图略)由条件可得AB平面PAD，ABPD，故正确；若平面PBC平面ABCD，由PBBC，得PB平面ABCD，从而PAPB，这是不可能的，故错；SPCDCDPD，SPABABPA，由ABCD
11、，PDPA知正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点，可得EFCD，又ABCD，EFAB，故AE与BF共面，错【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图5所示，已知ABC中，ACB90，SA平面ABC，ADSC，求证：AD平面SBC.图5【证明】ACB90，BCAC.又SA平面ABC，SABC，SAACA，BC平面SAC，BCAD.又SCAD，SCBCC，AD平面SBC.18(本小题满分12分)如图6，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AC9，BC12，AB15，AA112，点D是AB的中点图6(1)求证：ACB1C；
12、(2)求证：AC1平面CDB1.【证明】(1)C1C平面ABC，C1CAC.AC9，BC12，AB15，AC2BC2AB2，ACBC.又BCC1CC，AC平面BCC1B1，而B1C平面BCC1B1，ACB1C.(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，O，D分别为BC1，AB的中点，ODAC1.又OD平面CDB1，AC1平面CDB1.AC1平面CDB1.19(本小题满分12分)(2016德州高一检测)某几何体的三视图如图7所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；(2)在直观图中，证明：PD面AGC；证明：面PBD面AGC.图7【解】(1
13、)该几何体的直观图如图所示：(2)证明：连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OGPD.连接PO，由三视图知，PO平面ABCD，所以AOPO.又AOBO，所以AO平面PBD.因为AO平面AGC，所以平面PBD平面AGC.20(本小题满分12分)(2016济宁高一检测)如图8，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EFAC，AB，CEEF1.图8(1)求证：AF平面BDE；(2)求证：CF平面BDE.【证明】(1)如图，设AC与BD交于点G.因为EFAG，且EF1，AGAC1，所以四边形AGEF为平行四边形所以AFEG.因为EG平面BDE，AF平面
14、BDE，所以AF平面BDE.(2)连接FG，EFCG，EFCG1，四边形CEFG为平行四边形，又CEEF1，CEFG为菱形，EGCF.在正方形ABCD中，ACBD.正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，BD平面CEFG.BDCF.又EGBDG，CF平面BDE.21(本小题满分12分)(2015山东高考)如图9，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点图9(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.【解】(1)证法一：连接DG，CD，设CDGFM，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，
15、DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点又H为BC的中点，所以MHBD.又MH平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.证法二：在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得BHEF，BHEF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BEHF.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB.又GHHFH，所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED，所以BD平面FGH.(2)连接HE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB.由ABBC，得GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形所以CFHE.又CFB
16、C，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.22(本小题满分12分)(2016重庆高一检测)如图10所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点图10(1)求证：PA平面BDE；平面PAC平面BDE；(2)若二面角EBDC为30，求四棱锥PABCD的体积. 【导学号：60870052】【解】(1)证明：连接OE，如图所示O、E分别为AC、PC的中点，OEPA.OE平面BDE，PA平面BDE，PA平面BDE.PO平面ABCD，POBD.在正方形ABCD中，BDAC，又POACO，BD平面PAC.又BD平面BDE，平面PAC平面BDE.(2)取OC中点F，连接EF.E为PC中点，EF为POC的中位线，EFPO.又PO平面ABCD，EF平面ABCD.OFBD，OEBD.EOF为二面角EBDC的平面角，EOF30.在RtOEF中，OFOCACa，EFOFtan 30a，OP2EFa.VPABCDa2aa3.
