1、第四讲 指数与指数函数 1.2021 山东省烟台市期中若 a=()0.6,b=3-0.8,c=ln 3,则 a,b,c 的大小关系为()A.bca B.cab C.cba D.acb 2.原创题已知函数 f(x)=2x+x-5,则不等式-2f(4x-1)6 的解集为()A.-1,-B.-,C.,1 D.1,3.2021 湖南六校联考若函数 f(x)=()x-a 的图象经过第一、二、四象限,则 f(a)的取值范围为()A.(0,1)B.(-,1)C.(-1,1)D.(-,+)4.2020 合肥市三检已知函数 f(x)=-ax(a1),则不等式 f(2x2)+f(x-1)0 的解集是()A.(-,
2、-1)(,+)B.(-,-)(1,+)C.(-,1)D.(-1,)5.2021 嘉兴市高三测试函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x0 时,f(x)=2x-4,则 f(-1)=;不等式f(x)0 的解集为 .6.答案不唯一能说明“已知 f(x)=2|x-1|,若 f(x)g(x)对任意的 x0,2恒成立,则在0,2上,f(x)ming(x)max”为假命题的一个函数 g(x)=.(填出一个函数即可)7.2021 黑龙江省六校阶段联考物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是 T0,经过一段时间 t min 后的温度是 T,则 T-Ta=(T0-Ta)(,其中
3、Ta(单位:)表示环境温度,h(单位:min)称为半衰期.现有一份 88 的热饮,放在 24 的房间中,如果热饮降温到 40 需要 20 min,那么降温到 32 时,需要的时间为()A.24 min B.25 min C.30 min D.40 min 8.2021 河北石家庄二中模拟已知 0(cos)cos(sin)cos B.(sin)cos(cos)sin(cos)cos C.(cos)cos(sin)cos(cos)sin D.(cos)cos(cos)sin(sin)cos 9.2021 惠州市一调对于函数 f(x),若在定义域内存在实数 x,满足 f(-x)=-f(x),称 f(
4、x)为“局部奇函数”.若f(x)=4x-m2x+1+m2-3 为定义在 R 上的“局部奇函数”,则实数 m 的取值范围是()A.1-,1+B.1-,2 C.-2,2 D.-2,1-10.设函数 f(x)=-则 y=2f(f(x)-f(x)的取值范围为()A.(-,0 B.0,-C.-,+)D.(-,0 -,+)11.多选题已知实数 m,n 满足 2m2n,则下列不等式恒成立的是()A.cos m0,n0,则 me3n+2 D.若 m0,n0,则 12.多选题已知函数 f(x)=-,则下列结论中正确的是()A.函数 f(x)的图象关于原点对称 B.当 a=-1 时,函数 f(x)的值域为4,+)
5、C.若方程 f(x)=没有实数根,则 a1,b1,则 aln b的最大值为 .14.已知函数 f(x)=ex,若关于 x 的不等式f(x)2-2f(x)-a0 在0,1上有解,则实数 a 的取值范围为 .答 案第四讲 指数与指数函数 1.B 因为a=()0.6=3-0.6,由指数函数y=3x在R上单调递增,且-0.6-0.8可得a=3-0.63-0.8=b,且baln e=1,所以 cab.故选 B.2.C 因为函数 y=2x与 y=x-5 在 R 上均为增函数,所以函数 f(x)=2x+x-5 在 R 上为增函数.易知 f(1)=-2,f(3)=6,所以不等式-2f(4x-1)6 等价于 f
6、(1)f(4x-1)f(3),等价于 14x-13,解得 x1,故选 C.3.B 依题意可得f(0)=1-a,则 -解得0a1 时,y=和 y=-ax均为减函数,所以函数 f(x)=-ax(a1)在 R 上为减函数.又f(-x)=-a-x=ax-a-x=-f(x),所以 f(x)为奇函数.不等式 f(2x2)+f(x-1)0 可化为 f(2x2)f(1-x),所以 2x21-x,即2x2+x-10,解得-1x0 时,令 f(x)=2x-40,得 0 x2,因为 f(x)是定义在R 上的奇函数,所以当 x0 时,令 f(x)0,得 x-2,当 x=0 时,f(0)=0,此时不满足 f(x)0.所
7、以 f(x)0 的解集为(-,-2)(0,2).6.x-(答案不唯一)图 D 2-4-4 易知函数 f(x)=2|x-1|在 x0,2上的最小值是 1,取 g(x)=x-,作出 f(x),g(x)在0,2上的图象如图 D 2-4-4,满足f(x)g(x)对任意的 x0,2恒成立,但 g(x)=x-在0,2上的最大值是 ,不满足 f(x)ming(x)max,所以 g(x)=x-能说明题中命题是假命题.7.C 由题意,得 40-24=(88-24)(,即 =(,解得 h=10,所以 T-24=(88-24)(,即 T-24=64(,将T=32 代入上式,得 32-24=64(,即 =(,解得 t
8、=30,所以需要 30 min,可降温到 32,故选 C.8.A 设 a=cos,b=sin,因为 0ab0,则函数 f(x)=ax为减函数,所以 abaa,根据幂函数的性质可得aaba,故有 abaaba,即(cos)sin(cos)cos(sin)cos,故选 A.9.B 因为函数 f(x)=4x-m2x+1+m2-3 为定义在 R 上的“局部奇函数”,所以方程 f(x)=-f(-x)有解,即方程4x-m2x+1+m2-3=-(4-x-m2-x+1+m2-3)有解,整理得(4x+)-2m(2x+)+2(m2-3)=0,即方程(2x+)2-2m(2x+)+2m2-8=0 有解,令 t=2x+
9、,则 t2,即方程 t2-2mt+2m2-8=0(*)在 t2,+)上有解,设 g(t)=t2-2mt+2m2-8.(1)当方程(*)有两个相等的解时,由 解得 m=2.(2)当方程(*)有两个不相等的解,其中一个解小于 2,另一个解大于等于 2 时,则 g(2)0 或 解得1-m1+.(3)当方程(*)有两个不相等的解,且两个解都大于等于 2 时,由 解得 1+mn.因为函数 y=cos x 在 R 上有增有减,所以 A 中的不等式不恒成立,A 错误.因为函数 y=x 在(0,+)上单调递减,所以当 m0,n0,mn 时,mn 时,e3m+2e3n+2,故 C 正确.因为函数 y=在(0,+
10、)上单调递增,所以当 m0,n0,mn 时,故 D正确.12.BD 由题意知,函数 f(x)的定义域为x|x0,且 f(-x)=-=f(x),因此函数 f(x)是偶函数,其图象不关于原点对称,故 A 选项错误.当 a=-1 时,f(x)=,而 =|x|+2,所以 f(x)=4,即函数 f(x)的值域为4,+),B 选项正确.由 f(x)=,得 -=-2,得 x2+2|x|-a=0.要使原方程没有实数根,应使方程 x2+2|x|-a=0 没有实数根.令|x|=t(t0),则方程 t2+2t-a=0 没有正实数根,于是需 0 或 -即 4+4a0 或 -解得 a0),则 ln t=ln a2-ln a=-(ln a)2+2ln a=-(ln a-1)2+11,所以ln a=1 时,t 取得最大值 e,即 aln b的最大值为 e.14.(-,e2-2e 由f(x)2-2f(x)-a0 在0,1上有解,可得存在 x0,1,af(x)2-2f(x),即 ae2x-2ex.令g(x)=e2x-2ex(0 x1),则 ag(x)max.因为 0 x1,所以 1exe,则当 ex=e,即 x=1 时,g(x)max=e2-2e,即 ae2-2e,故实数 a 的取值范围为(-,e2-2e.
