1、云南省保山市第九中学2021届高三数学第三次月考试题 文(含解析)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请在答题卡相应的位置上填涂1. 已知集合,中元素个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】试题分析:由已知,的值为:,即,故选考点:1集合的概念;2集合的基本关系2. 复数的共轭复数是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用复数的除法运算化简复数,然后求其共轭复数.从而求得正确结论.【详解】,故其共轭复数为.所以选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算,考查共轭复数的概念,属于基础题.3
2、. 执行下面的程序框图,如果输入的N是6,那么输出的p是A. 120B. 720C. 1440D. 5040【答案】B【解析】框图表示,且所求720,选B4. 有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】每个同学参加的情形都有3种,故两个同学参加一组的情形有9种,而参加同一组的情形只有3种,所求的概率为p=选A5. 在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的
3、组合体,是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成,根据组合体的结构特征,得到组合体的侧视图【详解】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体,是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成,侧视图是一个中间有分界线的三角形,故选:【点睛】本题考查简单空间图形的三视图,考查由三视图看出原几何图形,再得到余下的三视图,本题是一个基础题6. 如果等差数列中,+=12,那么+=( )A. 14B. 21C. 28D. 35【答案】C【解析】试题分析:等差数列中,则考点:等差数列的前项和7. 某一考场有64个试室,试室编号为001064,现根据试室号,采用系统抽样法,抽取8个试室进行监控抽查,已抽看
4、了005,021试室号,则下列可能被抽到的试室号是( )A. 029,051B. 036,052C. 037,053D. 045,054【答案】C【解析】【分析】根据系统抽样性质,第一个是,故后面编号为可得答案.【详解】每八个抽取一个,第一个是,故后面编号为,当时,编号为037当时,编号为.故选:C.8. 在中,角的对边为,则“”成立的必要不充分条件为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义可逐项分析排除可得答案.【详解】在中,对与A,当时,所以;当时,由得到,是“”成立的充要条件,错误;对于B,当时,所以;当时,由得到,是“”成立的充要条件,错误;对于
5、C,当时,得到;当时,由正弦定理得到,即,所以,由于,得到,所以是“”成立的充要条件,错误;对于D,当时,得到;当时,由正弦定理得,即,由于,所以或,即或者,所以是“”成立的必要不充分条件,正确.故选:D.【点睛】结论点睛:本题考查必要不充分条件的判断,一般可根据如下规则判断:(1)若是的必要不充分条件,则对应集合是对应集合的真子集;(2)是充分不必要条件, 则对应集合是对应集合的真子集;(3)是的充分必要条件,则对应集合与对应集合相等;(4)是的既不充分又不必要条件, 对的集合与对应集合互不包含9. 已知是周期为2的奇函数,当时,则的值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析
6、】根据周期性和奇偶性可得和,由和已知条件可得答案.【详解】因为是周期为2的函数,所以是周期为2的函数,即,由是奇函数,所以,即,所以,当时,所以,故选:D.【点睛】关键点点睛: 是周期为2的函数,所以是周期为2的函数, 是奇函数,所以.10. 若函数的图像关于点中心对称,则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的图像关于点中心对称,由求出的表达式即可.【详解】因为函数的图像关于点中心对称,所以,所以,解得,所以故选:C【点睛】本题主要考查余弦函数的对称性,还考查了运算求解的能力,属于基础题.11. 已知抛物线C:y24x焦点为F,直线y2x4与C交于A,B两
7、点,则cosAFB等于()A. B. C. D. 【答案】D【解析】方法一:由得或令B(1,2),A(4,4),又F(1,0),由两点间距离公式得|BF|2,|AF|5,|AB|3cosAFB方法二:由方法一得A(4,4),B(1,2),F(1,0),(3,4),(0,2),|5,|2cosAFB12. 在下列区间中,函数的零点所在的区间为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先判断函数上单调递增,由,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数在上连续单调递增,且,所以函数的零点在区间内,故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用,属于简单题.应用零点存在定理解题时,要注
8、意两点:(1)函数是否为单调函数;(2)函数是否连续.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分将答案填写在题中的横线上)13. 已知正方形的边长为,为的中点,则_【答案】2【解析】=(+)(-)=-+-=22-22=2.14. 设满足约束条件 ,则的最大值为_【答案】3;【解析】【详解】【分析】做出可行域可知,当的时候 有最大值3.【考点定位】本题考查线性规划知识,考查学生的数形结合能力以及逻辑推理能力.15. 已知H是球O的直径AB上一点,AHHB=12,AB平面,H为垂足,截球O所得截面的面积为,则球O的表面积为.【答案】【解析】如图,设截面小圆的半径为r,球的半径为R,因为AHH
9、B=12,所以OH=R.由勾股定理,有R2=r2+OH2,又由题意得r2=,则r=1,故R2=1+,即R2=.由球的表面积公式,得S=4R2=.16. 设函数,则使得成立的的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据分段函数解析式将不等式转化为两个不等式组,分别求解,最后求并集得结果.【详解】当时,由得,所以;当时,由得,所以综上,符合题意的的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查解分段函数不等式,考查基本分析求解能力,属基础题.三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程及演算步骤)17.设数列的前项和为 已知(I)设,证明数列是等比数列.(II)求数列的通项公式.【答案】:
10、(I)见解析(II)【解析】【分析】由递推式进行递推,可以寻找规律,根据(I)要求(即提示)变形即可.证明数列最常用的方法是定义法,想到这一点,第(I)题就解决了.根据两个小题的联系,进一步变形寻找规律,求出通项.【详解】18. 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.(1)证明:PABD;(2)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值【答案】(1)见解析 (2)【解析】【详解】试题解析:(1)DAB=600,AB=2AD,由余弦定理得BD=AD,从而BD2+AD2=AB2故BDAD,即BD平面PAD,故PA BD(2)以D为坐标原
11、点,AD的长为单位长,射线DA为X轴的正半轴建立空间坐标系则A(1,0,0),B(0,0),C(-1,0),P(0,0,1)设平面PAB的法向量,则,解得平面PBC法向量,则,解得考点:本题考查线线垂直 二面角点评:解决本题的关键是用向量法证明注意计算准确性19. 某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核()求从甲、乙两组各抽取的人数;()求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率;()求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率【答案】()2,1;();().【解析】【分析】()
12、由甲、乙两组人数的比例是,再根据从甲、乙两组中共抽取3名工人求解.()根据古典概型的概率求法,分别计算从车间10名工人抽取2人的基本事件数,从4名女工人抽取1人的基本事件数,代入公式求解.()抽取的3名工人中恰有2名男工人分两种情况:甲组2男乙组1女或甲组1男1女乙组1男求解.【详解】()因为车间甲组有10名工人,乙组有5名工人,所以甲、乙两组的比例是,又因为从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核,所以从甲、乙两组各抽取的人数是2,1;()因为车间甲组有10名工人,其中有4名女工人,所以从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率;()因为车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其
13、中有3名女工人,所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率20. 已知点P(2,2),圆,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求点M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.【答案】(1) ;(2)直线的方程为,的面积为.【解析】【分析】求得圆的圆心和半径.(1)当三点均不重合时,根据圆的几何性质可知,是定点,所以的轨迹是以为直径的圆(除两点),根据圆的圆心和半径求得的轨迹方程.当三点有重合的情形时,的坐标满足上述求得的的轨迹方程.综上可得的轨迹方程.(2)根据圆的几何性质(垂径定理),求得直线的斜率,进而求得直线的方程.根据
14、等腰三角形的几何性质求得的面积.【详解】圆,故圆心为,半径为.(1)当C,M,P三点均不重合时,CMP=90,所以点M的轨迹是以线段PC为直径的圆(除去点P,C),线段中点为,故的轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2(x2,且y2或x0,且y4).当C,M,P三点中有重合的情形时,易求得点M的坐标为(2,2)或(0,4).综上可知,点M的轨迹是一个圆,轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上.又P在圆N上,从而ONPM.因为ON的斜率为3,所以的斜率为,故的方程为,即.又
15、易得|OM|=|OP|=,点O到的距离为,所以POM的面积为.【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法,考查圆的几何性质,考查等腰三角形面积的计算,考查化归与转化的数学思想方法,考查运算求解能力,属于中档题.21. 设函数有两个极值点、,且()求的取值范围,并讨论的单调性()证明:【答案】(1) ;单调性见解析.(2)证明见解析.【解析】试题分析 : (1)先确定函数的定义域然后求导数,由题意知,是方程的两个均大于-1的不相等的实根,建立不等关系解之即可,在函数的定义域内解不等式 和,求出单调区间;(2)是方程的根,将用表示,消去得到关于的函数,研究函数的单调性求出函数的最大值,即可证得不等式
16、试题解析 :()由题意知,函数的定义域是,且有两个不同的实数根,故的判别式,即,且,又,故因此的取值范围是当变化时与的变化情况如下表:极大值极小值因此在区间和是增函数,在上是减函数()由题意和知,于是设函数,则当时,当时,故在上是增函数于是,当,因此.请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时清写清题号22. 选修4-1:几何证明选讲如图,四边形ABCD是O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE(1)证明:D=E;(2)设AD不是O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:ADE为等边三角形【答案】(1)见解析;(2)见解析.【
17、解析】试题分析:(1)由四点共圆性质可得D=CBE.再结合条件CBE=E,得证(2)由等腰三角形性质得OMAD,即得ADBC, 因此A=CBE=E.而D=E,所以ADE为等边三角形.试题解析:解: (1)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以D=CBE.由已知得CBE=E,故D=E.(2)设BC的中点为N,连结MN,则由MB=MC知MNBC,故O在直线MN上.又AD不是O的直径,M为AD的中点,故OMAD,即MNAD. 所以ADBC,故A=CBE.又CBE=E,故A=E.由(1)知,D=E,所以ADE为等边三角形.23. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数)是曲线上的动点,点满足.(1)求点
18、的轨迹方程;(2)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与曲线交于不同于原点的点求.【答案】(1) ;(2).【解析】【分析】(1)先设出点的坐标,然后根据点满足的条件代入曲线的方程即可求出曲线的方程;(2)根据(1)将求出曲线的极坐标方程,分别求出射线与的交点的极径为,以及射线与的交点的极径为,最后根据求出所求.【详解】(1)设,则由条件知.由于M点在上,所以即从而参数方程为 .(2)曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.射线与的交点A的极径为,射线与的交点B的极径为.所以.【点睛】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及轨迹方程的求解和线段的度量,属于中档题.求解时既可以化成直角坐标方程求解,也可以直接求解,关键是掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系,是基础题24. 已知函数,且的解集为.(1)求的值;(2)若,是正实数,且,求证:.【答案】();()详见解析【解析】试题分析:()等价于,从而可求得的解集,根据已知其解集为可得的值()由()知,又因为是正实数,所以根据基本不等式即可证明试题解析:解:()因为,所以等价于由有解,得,且其解集为又的解集为,故()由()知,又是正实数,由均值不等式得当且仅当时取等号也即考点:1绝对值不等式;2基本不等式