1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2讲函数的应用1(2014北京)已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,4) D(4，)2(2015天津)已知函数f(x)函数g(x)3f(2x)，则函数yf(x)g(x)的零点个数为()A2 B3 C4 D53(2015四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时4(2014湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情
2、况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/时1.函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题热点一函数的零点1零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)
3、在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根2函数的零点与方程根的关系函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标例1(1)(2015黄冈中学期中)函数f(x)lg x的零点所在的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,10)(2)已知函数f(x)exx，g(x)ln xx，h(x)ln x1的零点依次为a，b，c，则()Aabc BcbaCcab Dbac思维升华函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数
4、的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解跟踪演练1(1)函数f(x)x22x在xR上的零点的个数是()A0 B1C2 D3(2)设x1，x2是方程ln|x2|m(m为实常数)的两根，则x1x2的值为()A4 B2C4 D与m有关热点二函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解例2(1)对任意实数a，b定义运算“”：ab设f(x)(x21)(4x)，若函数yf(x)k
5、的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是()A(2,1) B0,1C2,0) D2,1)(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR都有f(x2)f(x)当0x1时，f(x)x2.若直线yxa与函数yf(x)的图象在0,2内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是()A0 B0或C或 D0或思维升华(1)f(x)g(x)根的个数即为函数yf(x)和yg(x)图象交点的个数；(2)关于x的方程f(x)m0有解，m的范围就是函数yf(x)的值域跟踪演练2(1)(2015兰州第一中学期中)若函数f(x)mlog2x(x1)存在零点，则实数m的取值范围是()A(，0 B0，)C(，0)
6、 D(0，)(2)(2015湖南)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_热点三函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答例3一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价
7、为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价思维升华(1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法跟踪演练3(1)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p2)%征税，有一公司的实际缴税比例
8、为(p0.25)%，则该公司的年收入是()A560万元 B420万元C350万元 D320万元(2)某租赁公司拥有汽车100辆当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为_元.1f(x)2sin xx1的零点个数为()A4 B5C6 D72已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_3已知函数f(x)5xx2，g(x)log5xx2的零点分别为x1，x2，则x1x2的值为_4在如图所示的锐角三
9、角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m.提醒：完成作业专题二第2讲二轮专题强化练专题二第2讲函数的应用A组专题通关1函数f(x)ln(x1)的零点所在的区间是()A(，1) B(1，e1)C(e1,2) D(2，e)2已知函数f(x)()xcos x，则f(x)在0,2上的零点个数是()A1 B2C3 D43函数f(x)的所有零点的和等于()A2 B1C0 D14若函数f(x)x22a|x|4a23的零点有且只有一个，则实数a等于()A.或 BC. D以上都不对5直线yx与函数f(x)的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是()A1,2) B1,2C2，)
10、D(，16若函数f(x)有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_7某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元为使该设备年平均费用最低，该企业_年后需要更新设备8对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设f(x)(2x1)*(x1)，且关于x的方程f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_9已知函数f(x)mx22x1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围10随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有
11、职员2a人(1402a0，f(2)3120，f(4)log2422时，g(x)x1，f(x)(x2)2；当0x2时，g(x)3x，f(x)2x；当x2时，方程f(x)g(x)0可化为x25x50，其根为x或x(舍去)；当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为2x3x，无解；当x0时，方程f(x)g(x)0可化为x2x10，其根为x或x(舍去)所以函数yf(x)g(x)的零点个数为2.324解析由题意得e22k，e11k，x33时，ye33kb(e11k)3eb319219224.4(1)1 900(2)100解析(1)当l6.05时，F1 900.当且仅当v11 米/秒时等号成立，此时车流量最
12、大为1 900辆/时(2)当l5时，F2 000.当且仅当v10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000 辆/时比(1)中的最大车流量增加100 辆/时热点分类突破例1(1)C(2)A解析(1)f(2)lg 20，f(2)f(3)0，故f(x)的零点在区间(2,3)内(2)由f(a)eaa0，得aea0；b是函数yln x和yx图象交点的横坐标，画图可知0b1；由h(x)ln c10知ce，所以abc.跟踪演练1(1)D(2)A解析(1)注意到f(1)f(0)(1)0，因此函数f(x)在(1,0)上必有零点，又f(2)f(4)0，因此函数f(x)的零点个数是3，选D.(2)方程ln|x2
13、|m的根即函数yln|x2|的图象与直线ym的交点的横坐标，因为函数yln|x2|的图象关于x2对称，且在x2两侧单调，值域为R，所以对任意的实数m，函数yln|x2|的图象与直线ym必有两交点，且两交点关于直线x2对称，故x1x24.例2(1)D(2)D解析(1)解不等式x21(4x)1，得x2或x3，所以，f(x)函数yf(x)k的图象与x轴恰有三个不同交点转化为函数yf(x)的图象和直线yk恰有三个不同交点如图，所以1k2，故2k1.(2)f(x2)f(x)，T2.又0x1时，f(x)x2，可画出函数yf(x)在一个周期内的图象如图显然a0时，yx与yx2在0,2内恰有两个不同的公共点另
14、当直线yxa与yx2(0x1)相切时也恰有两个不同公共点，由题意知y(x2)2x1，x.A(，)，又A点在yxa上，a，综上知选D.跟踪演练2(1)A(2)(0,2)解析(1)mlog2x(x1)存在零点，则m的范围即为函数ylog2x(x1)的值域，m0.(2)将函数f(x)|2x2|b的零点个数问题转化为函数y|2x2|的图象与直线yb的交点个数问题，数形结合求解由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示则当0b0)，即x10时取等号当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元(2)由限制条件知
15、x16.设g(x)x(x16)，g(x)在，16上是增函数，当x时(此时16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值，即为1 296()12 96038 882(元)当污水处理池的长为16米，宽为米时总造价最低，总造价最低为38 882元跟踪演练3(1)D(2)4 050解析(1)设该公司的年收入为x万元(x280)，则有(p025)%，解得x320.故该公司的年收入为320万元(2)设每辆车的月租金为x(x3 000)元，则租赁公司月收益为y(100)(x150)50，整理得y162x21 000(x4 050)2307 050.当x4 050时，y取最大值为307 050，即当每辆车的月租
16、金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元高考押题精练1B令2sin xx10，则2sin xx1，令h(x)2sin x，g(x)x1，则f(x)2sin xx1的零点个数问题就转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题h(x)2sin x的最小正周期为T2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h(1)g(1)，h()g()，g(4)32，g(1)2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)2sin xx1的零点个数为5.2(0,1)解析画出f(x)的图象，如图由于函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得：0m1，即m(0,1)32解析令f(x)0，g(x)
17、0，得5xx2，log5xx2.作出函数y5x，ylog5x，yx2的图象，如图所示，因为函数f(x)5xx2，g(x)log5xx2的零点分别为x1，x2，所以x1是函数y5x的图象与直线yx2交点A的横坐标，x2是函数ylog5x的图象与直线yx2交点B的横坐标因为y5x与ylog5x的图象关于yx对称，直线yx2也关于yx对称，且直线yx2与它们都只有一个交点，故这两个交点关于yx对称又线段AB的中点是yx与yx2的交点，即(1,1)，所以x1x22.420解析如图，过A作AHBC交于点H，交DE于点F，易知AFxFH40x，则Sx(40x)()2，当且仅当40xx，即x20时取等号，所
18、以满足题意的边长x为20 m.二轮专题强化练答案精析第2讲函数的应用1C因为f()ln40，f(1)ln 220，f(e1)10，故零点在区间(e1,2)内2Cf(x)在0,2上的零点个数就是函数y()x和ycos x的图象在0,2上的交点个数，而函数y()x和ycos x的图象在0,2上的交点有3个3C令()x20，解得x1，令x10，解得x1，所以函数f(x)存在两个零点1和1，其和为0.4C令|x|t，原函数的零点有且只有一个，即方程t22at4a230只有一个0根或一个0根、一个负根，4a230，解得a或，经检验，a满足题意5A直线yx与函数f(x)的图象恰有三个公共点，即方程x24x
19、2x(xm)与x2(xm)共有三个根x24x2x的解为x12，x21，1m0时，由f(x)ln x0，得x1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x0时，函数f(x)2xa有一个零点，令f(x)0得a2x，因为02x201，所以0a1，所以实数a的取值范围是0a1.710解析由题意可知x年的维护费用为242xx(x1)，所以x年的平均费用yx1.5，由基本不等式得yx1.52 1.521.5，当且仅当x，即x10时取等号，所以该企业10年后需要更新设备8.解析由定义可知，f(x)作出函数f(x)的图象，如图所示由图可知，当0m时，f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3.不
20、妨设x1x20，x30，且x2x31，x2x3.令解得x或x(舍去)x10，x1x2x30.9解依题意，得或或显然无解；解，得m0；解，得m1，经验证，满足题意又当m0时，f(x)2x1，它显然有一个为正实数的零点综上所述，m的取值范围是(，0110解设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则y(2ax)(b0.01bx)0.4bxx22(a70)x2ab.依题意得2ax2a，所以0x.又1402a420，即70a210.当0a70，即70，即140a210时，x，y取到最大值故当70a140时，公司应裁员(a70)人，经济效益取到最大；当140a210时，公司应裁员人，经济效益取到最大11D当
21、x0时，函数g(x)的零点即方程f(x)x3的根，由x23xx3，解得x1或3；当x1解析函数f(x)有三个零点等价于方程m|x|有且仅有三个实根m|x|x|(x2)，作函数y|x|(x2)的图象，如图所示，由图象可知m应满足01.134解析当f(x)0时，x1或x1，故ff(x)10时，f(x)11或1.当f(x)11，即f(x)2时，解得x3或x；当f(x)11，即f(x)0时，解得x1或x1.故函数yff(x)1有4个不同的零点144解析令h(x)f(x)g(x)，则h(x)当1x2时，h(x)2x0，故当1x2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y|h(x)|和y1的图象如图所示由图象可知|f(x)g(x)|1的实根个数为4.- 16 - 版权所有高考资源网
