1、20102014年高考真题备选题库第6章 不等式、推理与证明第4节 基本不等式1(2014安徽,5分)不等式组 表示的平面区域的面积为_解析:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,可知SABC2(22)4.答案:42(2014新课标全国,5分)设x,y满足约束条件且zxay的最小值为7,则a()A5 B3C5或3 D5或3解析:选B法一:联立方程解得代入xay7中,解得a3或5,当a5时,zxay的最大值是7;当a3时,zxay的最小值是7,故选B.法二:先画出可行域,然后根据图形结合选项求解当a5时,作出不等式组表示的可行域,如图(1)(阴影部分)图(1)由得交点A(3,2),则目标
2、函数zx5y过A点时取得最大值zmax35(2)7,不满足题意,排除A,C选项当a3时,作出不等式组表示的可行域,如图(2)(阴影部分)图(2)由得交点B(1,2),则目标函数zx3y过B点时取得最小值zmin1327,满足题意3(2014新课标全国,5分)设x,y满足约束条件则zx2y的最大值为()A8 B7 C2 D1解析:选B作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,作直线yx,平移直线yx,当直线yx经过点C时在y轴上的截距取得最大值,即z取得最大值,由得即C(3,2),代入zx2y得zmax3227,故选B.4. (2014山东,5分)已知x,y满足约束条件当目标函数 zaxby(
3、a0,b0)在该约束条件下取到最小值2 时,a2b2 的最小值为()A.5B. 4C. D. 2解析:选B不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,1)处取得最小值,故2ab2.法一:将2ab2两边分别平方得4a2b24ab20,而4ab2a2ba24b2,当且仅当a2b,即a,b时取等号所以204a2b2a24b25(a2b2),所以a2b24,即a2b2的最小值为4.法二:将2ab2看作平面直角坐标系aOb中的直线,则a2b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,故其最小值为坐标原点到直线2ab2距离的平方,即24.5(2014广东,5
4、分)若变量x,y 满足约束条件 则z2xy 的最大值等于()A. 7 B8 C. 10 D. 11解析:选C作出可行域如图所示,结合目标函数可知,当直线y2xz经过点A时,z的值最大于是,由得则zmax2xy10,故选C.6(2014福建,5分)已知圆C:(xa)2(yb)2 1,设平面区域:若圆心C,且圆C与x轴相切,则 a2b2的最大值为 ()A5 B29C37 D49解析:选C平面区域为如图所示的阴影部分的ABD,因圆心C(a,b),且圆C与x轴相切,所以点C在如图所示的线段MN上,线段MN的方程为y1(2x6),由图形得,当点C在点N(6,1)处时,a2b2取得最大值621237,故选
5、C. 7(2014天津,5分)设变量x,y 满足约束条件 则目标函数 zx2y的最小值为()A2 B3 C4 D5解析:选B画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示,目标函数可化为yxz,由图可知,当直线yxz经过点(1,1)时z取得最小值3.8.(2014湖北,5分)若变量x,y满足约束条件 则 2xy的最大值是()A2 B4C7 D8解析:选C由题意作出可行域如图中阴影部分所示,由A(3,1)故2xy的最大值为7. 9(2014浙江,5分)若实数x,y 满足则xy 的取值范围是_解析:作出可行域,如图,作直线xy0,向右上平移,过点B时,xy取得最小值,过点A时取得最大值由B(1,0)
6、,A(2,1)得(xy)min1,(xy)max3.所以1xy3.答案:1,310(2014辽宁,5分)已知x,y满足约束条件 ,则目标函数z3x4y 的最大值为_解析:画出可行域(如图所示)可知,目标函数在点(2,3)处取得最大值,最大值为z61218.答案:1811(2014北京,5分)若x,y 满足则zxy的最小值为 _.解析:根据题意画出可行域如图,由于zxy对应的直线斜率为,且z与x正相关,结合图形可知,当直线过点A(0,1)时,z取得最小值1.答案:112(2014湖南,5分)若变量x,y 满足约束条件则 z2xy的最大值为_解析:画出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示是一
7、个三角形,三个顶点坐标分别为A(1,1),B(2,2),C(3,1),画出直线2xy0,平移直线2xy0可知,z在点C(3,1)处取得最大值,所以zmax2317.答案:713(2013福建,5分)若2x2y1,则xy的取值范围是()A0,2B2,0C2,) D(,2解析:本题主要考查基本不等式,意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力2x2y22(当且仅当2x2y时等号成立),2xy,得xy2,故选D.答案:D14(2013山东,5分)设正实数x,y,z满足x23xy4y2z0.则当取得最小值时,x2yz的最大值为()A0 B.C2 D.解析:本题主要考查基本不等式的应用,考
8、查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想32 31,当且仅当x2y时等号成立,因此z4y26y24y22y2,所以x2yz4y2y22(y1)222.答案:C15(2013四川,5分)已知函数f(x)4x(x0,a0)在x3时取得最小值,则a_.解析:本题主要考查基本不等式,意在考查考生对基础知识的掌握f(x)4x24,当且仅当4x,即a4x2时取等号,则由题意知a43236.答案:3616(2012浙江,5分)若正数x,y满足x3y5xy,则3x4y的最小值是()A.B.C5 D6解析:x3y5xy,5,x0,y0,(3x4y)()942 1325,5(3x4y)25,3x4y
9、5,当且仅当x2y时取等号3x4y的最小值是5.答案:C17(2012江苏,14分)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由解:(1)令y0,得kx(1k2)x20,由实际意义和题设条件知x0,k0,故x10,当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米(2)因为a0,所以
10、炮弹可击中目标存在k0,使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6(千米)时,可击中目标18(2011浙江,4分)若实数x、y满足x2y2 xy1,则xy的最大值是_解析:xy(xy)2,1x2y2xy(xy)2xy(xy)2(xy)2(xy)2,(xy)2.xy.当xy时,xy取得最大值.答案:19(2011陕西,5分)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程
11、总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()A和 B和C和 D和解析:当放在最左侧坑时,路程和为01020190;当放在左侧第2个坑时,路程和为1001020180(减少了180米);当放在左侧第3个坑时,路程和为201001020170(减少了160米);依次进行,显然当放在中间的第10或11个坑时,路程和最小,为9080010201001000米答案:D20(2010浙江,4分)若正实数x,y满足2xy6xy,则xy的最小值是_解析:由基本不等式得xy26,令t得不等式t22t60,解得t(舍去)或者t3,故xy的最小值为18.答案:1821(2010天津,4分)设函数f(x)x21,
12、对任意x,f()4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立,则实数m的取值范围是_解析:由题意得:()214m2(x21)(x1)214(m21)恒成立,即(4m21)x22x30恒成立,即4m21恒成立,g(x)在,)上是增函数,故当且仅当4m21g()即可解得m或m,即m的取值范围是(,)答案:(,)22(2010江苏,5分)将边长为1 m的正三角形薄铁皮,沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记s,则s的最小值是_解析:如图,设ADx(0x1),则DEADx,梯形的周长为x2(1x)13x,又SADEx2,梯形的面积为x2,s(0x1),s,令s0得x或3(舍去),当x(0,)时
13、,s0,s递增;故当x时,s的最小值是.答案:23(2010浙江,4分)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是_解析:七月份的销售额为500(1x%),八月份的销售额为500(1x%)2,则一月份到十月份的销售总额是3 8605002 500(1x%)500(1x%)2,根据题意有3 8605002500(1x%)500(1x%)27 000,即25(1x%)25(1x%)266,令t1x%,则25t225t660,解得t或者t(舍去),故1x%,解得x20.答案:20