1、20102014年高考真题备选题库第6章 不等式、推理与证明第4节 基本不等式1(2014安徽，5分)不等式组 表示的平面区域的面积为_解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知SABC2(22)4.答案：42(2014新课标全国，5分)设x，y满足约束条件且zxay的最小值为7，则a()A5 B3C5或3 D5或3解析：选B法一：联立方程解得代入xay7中，解得a3或5，当a5时，zxay的最大值是7；当a3时，zxay的最小值是7，故选B.法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解当a5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)图(1)由得交点A(3，2)，则目标
2、函数zx5y过A点时取得最大值zmax35(2)7，不满足题意，排除A，C选项当a3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)图(2)由得交点B(1,2)，则目标函数zx3y过B点时取得最小值zmin1327，满足题意3(2014新课标全国，5分)设x，y满足约束条件则zx2y的最大值为()A8 B7 C2 D1解析：选B作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线yx，平移直线yx，当直线yx经过点C时在y轴上的截距取得最大值，即z取得最大值，由得即C(3,2)，代入zx2y得zmax3227，故选B.4. (2014山东，5分)已知x，y满足约束条件当目标函数 zaxby(
3、a0，b0)在该约束条件下取到最小值2 时，a2b2 的最小值为()A.5B. 4C. D. 2解析：选B不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2,1)处取得最小值，故2ab2.法一：将2ab2两边分别平方得4a2b24ab20，而4ab2a2ba24b2，当且仅当a2b，即a，b时取等号所以204a2b2a24b25(a2b2)，所以a2b24，即a2b2的最小值为4.法二：将2ab2看作平面直角坐标系aOb中的直线，则a2b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，故其最小值为坐标原点到直线2ab2距离的平方，即24.5(2014广东，5
4、分)若变量x，y 满足约束条件 则z2xy 的最大值等于()A. 7 B8 C. 10 D. 11解析：选C作出可行域如图所示，结合目标函数可知，当直线y2xz经过点A时，z的值最大于是，由得则zmax2xy10，故选C.6(2014福建，5分)已知圆C：(xa)2(yb)2 1，设平面区域：若圆心C，且圆C与x轴相切，则 a2b2的最大值为 ()A5 B29C37 D49解析：选C平面区域为如图所示的阴影部分的ABD，因圆心C(a，b)，且圆C与x轴相切，所以点C在如图所示的线段MN上，线段MN的方程为y1(2x6)，由图形得，当点C在点N(6,1)处时，a2b2取得最大值621237，故选
5、C. 7(2014天津，5分)设变量x，y 满足约束条件 则目标函数 zx2y的最小值为()A2 B3 C4 D5解析：选B画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数可化为yxz，由图可知，当直线yxz经过点(1,1)时z取得最小值3.8.(2014湖北，5分)若变量x，y满足约束条件 则 2xy的最大值是()A2 B4C7 D8解析：选C由题意作出可行域如图中阴影部分所示，由A(3,1)故2xy的最大值为7. 9(2014浙江，5分)若实数x，y 满足则xy 的取值范围是_解析：作出可行域，如图，作直线xy0，向右上平移，过点B时，xy取得最小值，过点A时取得最大值由B(1,0)
6、，A(2,1)得(xy)min1，(xy)max3.所以1xy3.答案：1,310(2014辽宁，5分)已知x，y满足约束条件 ，则目标函数z3x4y 的最大值为_解析：画出可行域(如图所示)可知，目标函数在点(2,3)处取得最大值，最大值为z61218.答案：1811(2014北京，5分)若x，y 满足则zxy的最小值为 _.解析：根据题意画出可行域如图，由于zxy对应的直线斜率为，且z与x正相关，结合图形可知，当直线过点A(0,1)时，z取得最小值1.答案：112(2014湖南，5分)若变量x，y 满足约束条件则 z2xy的最大值为_解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示是一
7、个三角形，三个顶点坐标分别为A(1,1)，B(2,2)，C(3,1)，画出直线2xy0，平移直线2xy0可知，z在点C(3,1)处取得最大值，所以zmax2317.答案：713（2013福建，5分）若2x2y1，则xy的取值范围是()A0,2B2,0C2，) D(，2解析：本题主要考查基本不等式，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力2x2y22(当且仅当2x2y时等号成立)，2xy，得xy2，故选D.答案：D14（2013山东，5分）设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0.则当取得最小值时，x2yz的最大值为()A0 B.C2 D.解析：本题主要考查基本不等式的应用，考
8、查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想32 31，当且仅当x2y时等号成立，因此z4y26y24y22y2，所以x2yz4y2y22(y1)222.答案：C15（2013四川，5分）已知函数f(x)4x(x0，a0)在x3时取得最小值，则a_.解析：本题主要考查基本不等式，意在考查考生对基础知识的掌握f(x)4x24，当且仅当4x，即a4x2时取等号，则由题意知a43236.答案：3616（2012浙江，5分）若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A.B.C5 D6解析：x3y5xy，5，x0，y0，(3x4y)()942 1325，5(3x4y)25，3x4y
9、5，当且仅当x2y时取等号3x4y的最小值是5.答案：C17（2012江苏，14分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由解：(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米(2)因为a0，所以
10、炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6(千米)时，可击中目标18（2011浙江，4分）若实数x、y满足x2y2 xy1，则xy的最大值是_解析：xy(xy)2，1x2y2xy(xy)2xy(xy)2(xy)2(xy)2，(xy)2.xy.当xy时，xy取得最大值.答案：19（2011陕西，5分）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程
11、总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()A和 B和C和 D和解析：当放在最左侧坑时，路程和为01020190；当放在左侧第2个坑时，路程和为1001020180(减少了180米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为201001020170(减少了160米)；依次进行，显然当放在中间的第10或11个坑时，路程和最小，为9080010201001000米答案：D20（2010浙江，4分）若正实数x，y满足2xy6xy，则xy的最小值是_解析：由基本不等式得xy26，令t得不等式t22t60，解得t(舍去)或者t3，故xy的最小值为18.答案：1821（2010天津，4分）设函数f(x)x21，
12、对任意x，f()4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是_解析：由题意得：()214m2(x21)(x1)214(m21)恒成立，即(4m21)x22x30恒成立，即4m21恒成立，g(x)在，)上是增函数，故当且仅当4m21g()即可解得m或m，即m的取值范围是(，)答案：(，)22（2010江苏，5分）将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s，则s的最小值是_解析：如图，设ADx(0x1)，则DEADx，梯形的周长为x2(1x)13x，又SADEx2，梯形的面积为x2，s(0x1)，s，令s0得x或3(舍去)，当x(0，)时
13、，s0，s递增；故当x时，s的最小值是.答案：23（2010浙江，4分）某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是_解析：七月份的销售额为500(1x%)，八月份的销售额为500(1x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3 8605002 500(1x%)500(1x%)2，根据题意有3 8605002500(1x%)500(1x%)27 000，即25(1x%)25(1x%)266，令t1x%，则25t225t660，解得t或者t(舍去)，故1x%，解得x20.答案：20