1、章末复习课 整合网络构建 警示易错提醒1进行类比推理时，可以从以下方面入手进行类比：问题的外在结构特征；图形的性质或维数；处理一类问题的方法；事物的相似性质等要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误2进行归纳推理时，要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式，以便于作出归纳猜想3推理证明过程叙述要完整、严谨，逻辑关系清晰、不跳步4注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，而后者结论可能为真也可能为假合情推理得到的结论的正确性需要进一步推证，合情推理中运用猜想时要有依据5用反证法证明数学命题时，必须把反设作为
2、推理依据书写证明过程时，一定要注意不能把“假设”误写为“设”，还要注意一些常见用语的否定形式6运用分析法时仅需要寻求结论成立的充分条件即可，而不是充要条件分析法是逆推证明，故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性. 7应用数学归纳法证明有关自然数n的命题时，第一步验证n取第一个值时，必须注意项数，第二步从nk到nk1的过渡必须注意两点，一是nk1的证明必须用上归纳假设，二是弄清nk与nk1时命题(等式、不等式、整除等)的变化专题一合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理，归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理，是做出科学发现的重要手段类比推理是由特殊到特殊的推理，它常以已知的知识作基础，
3、推测出新的结果，具有发现功能例1(1)观察下列等式：11131123 132391236 13233336123410 132333431001234515 1323334353225 可以推测：132333n3_(nN*，用含有n的代数式表示)(2)由圆的下列性质类比球的有关性质圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相等圆的周长cd(d为直径)圆的面积Sd2.解析：(1)由条件可知：1312，1323932(12)2，1323333662(123)2，不难得出：132333n3(123n)2.答案：(2)解：圆与球具有下列相似性质(见下表)，与圆的有关性质相比较，可以推测球
4、的有关性质圆球圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与截面圆(非轴截面)圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距离相等的两个截面圆面积相等圆的周长cd球的表面积Sd2圆的面积Sd2球的体积Vd3归纳升华(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性变式训练(1)有一个奇数列1，3，5，7，9，现在进行如下分组：第一组含一个数1；第二组含两个数3，5；第三组含三个数7，9，11；第四组含四个数13，15，17，19；. 则观察每组内各数之
5、和f(n)(nN*)与组的编号数的关系式为_(2)在平面几何中，对于RtABC，设ABc，ACb，BCa，则：a2b2c2；cos2 Acos2 B1；RtABC的外接圆半径为r.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论(1)解析：由于113，35823，79112733，131517196443，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)n3.答案：f(n)n3(2)解：选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则SSSS2.设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为，则cos2 cos2 cos2 1.
6、设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R.专题二演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确例2已知函数f(x)x3.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明：f(x)0.(1)解：因为2x10，所以函数f(x)的定义域为x|x0因为f(x)f(x)(x3)x3(x3)x3x3x30，所以f(x)f(x)，所以f(x)是偶函数(2)证明：因为x0，所以当x0时，2x1，2x10，x30，所以f(x)0.当x0时，x0，f(x)f(x)0，所以f(
7、x)0.综上可知，f(x)0.归纳升华数学中的演绎推理一般是以“三段论”的格式进行的“三段论”由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合这个原理的一个特殊场合，结论是大前提和小前提的逻辑结果变式训练(2017全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩解析：由题意可知，“甲看乙、丙的成绩，不知道自己的
8、成绩”说明乙、丙两人是一位优秀一位良好，则乙看了丙的成绩，可以知道自己的成绩，丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩答案：D专题三综合法与分析法综合法是从原因推测结果的思维方法，即从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证的结论，这是常用的数学方法分析法是从待证的结论出发，一步一步地寻找结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实例3用综合法和分析法证明：已知(0，)，求证：2sin 2.证明：法一(分析法)要证明2sin 2成立，只要证明4sin cos .因为a(0，)，所以sin 0，只要证明4cos .上式可变形为44(1cos )因为1cos 0，所以4(1cos )2
9、 4.当且仅当cos ，即时取等号所以44(1cos )成立所以不等式2sin 2成立法二(综合法)因为4(1cos )4，所以4cos .因为(0，)，所以sin 0，所以4sin cos .所以2sin 2.归纳升华综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，可转换解题思路，增加解题途径一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程变式训练设a0，b0，ab1，求证：8.试用综合法和分析法分别证明证明：
10、法一(综合法)因为a0，b0，ab1，所以1ab2，ab，所以4.又(ab)24，所以8(当且仅当ab时等号成立)法二(分析法)因为a0，b0，ab1，要证8，只要证8，只要证8，即证4.也就是证4.即证2，由基本不等式可知，当a0，b0时，2成立，所以原不等式成立专题四反证法反证法不是去直接证明结论，而是先否定结论，在此基础上运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性例4等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an及前n项和Sn；(2)设bn(nN*)求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列(1)解：设等差数列公差为d，由 得解得d2.所以an2n1
11、，Snn(n)(2)证明：由(1)得bnn.假设bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r)，所以(q2pr)(2qpr)0.因为p，q，rN*，所以所以pr.所以(pr)20，所以pr与pr矛盾所以数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列归纳升华应用反证法证明命题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论当结论的反面有多种情况时，必须罗列各种情况加以论证，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面进行推理，就不是反证法(3)
12、推导出的矛盾多种多样，有的与已知相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与已知事实相矛盾等等，推出的矛盾必须是明显的变式训练设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2y21上证明：(1)反证法假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1k2，代入k1k220，得k20，此与k1为实数的事实相矛盾从而k1k2，即l1与l2相交(2)法一由方程组解得交点P的坐标(x，y)为而2x2y221.此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2y21上法二交点P的坐标(x，y)满足故知x0.从而代入k1k220，得20.整理
13、后，得2x2y21.所以交点P在椭圆2x2y21上专题五数学归纳法数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法它是一种完全归纳法，它的证明共分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”(或称特殊性)；第二步解决的是延续性(又称传递性)问题，称为归纳递推例5已知函数f(x)(x0)，数列an满足a1f(x)，an1f(an)(1)求a2、a3、a4；(2)猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法予以证明解：(1)由a1f(x)，an1f(an)得：a2f(a1)；a3f(a2)；a4f(a3) .(2)猜想数列an的通项公式an.证明：当n1时，结论显然成立；假设当nk时结论成立，即ak，则当nk1时，ak1f(ak) .上式表明，当nk1时结论也成立由、可得，数列an的通项公式an .归纳升华运用数学归纳法证明有关命题要注意以下几点：(1)两个步骤缺一不可(2)第二步中，证明“当nk1时结论正确”的过程中，必须利用“归纳假设”，即必须用上“当nk时结论正确”这一结论数学归纳法可以用来证明与正整数有关的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性问题变式训练用数学归纳法证明：当n2且nN*时，.证明：(1)当n2时，左边11，右边，等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时，等式成立，即，则当nk1时，这说明当nk1时，等式也成立由(1)(2)知，对任意n2且nN*，都成立
