1、2.2.3一元二次不等式的解法1.一元二次不等式的概念形如ax2+bx+c0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a0.式中的不等号也可以是“0是一元二次不等式吗？提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式.(2)一元二次不等式的一般形式中“a0”可以省略吗？提示：不可以，若a=0，就不是二次不等式了.2.一元二次不等式的解法(1)因式分解法：如果x1x2，则不等式(x-x1)(x-x2)0的解集是(-，x1)(x2，+).(2)配方法：一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)通过配方总是可以变为(x-h)2k或(x-h)20k=0kk转化为|x-h|，解集为(-，h-)(h+
2、，+)(-，h)(h，+)R(x-h)2k转化为|x-h|，解集为(h-，h+)【思考】(1)因式分解法的实质是什么？提示：通过对不等式的左边进行因式分解，转化为等价不等式组求解.(2)配方法的实质是什么？提示：通过对不等式左边进行配方，转化为绝对值不等式求解.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)mx2-5x0是一元二次不等式.()(2)若方程ax2+bx+c=0可以变形为a(x-1)(x+1)=0，则ax2+bx+c0(a0)通过配方总是可以变为(x-h)2k或(x-h)20时，ax2+bx+c1或x-1【解析】选B.2xx2+1x2-2x+10(x-1)20，所以xR.
3、3.不等式(2x-5)(x+3)0，则RA=()世纪金榜导学号A.x|-1x2B.x|-1x2C.x|x2D.x|x-1x|x2【思维引】解一元二次不等式可得集合A，再求其补集即可.【解析】选B.由x2-x-20左边因式分解得(x+1)(x-2)0，解得x2，则A=x|x2，所以RA=x|-1x2.【素养探】本例考查一元二次不等式的解法与集合的运算，同时考查了逻辑推理与数学运算的核心素养.本例若改为：设集合A=x|x2-4x+30，则AB=()【解析】选D.由x2-4x+30，得(x-1)(x-3)0，解得1x0，解得x ，所以B=.所以AB=.角度2 配方法【典例】解下列不等式(1)3x2-
4、5x-20.【思维引】用配方法解答.【解析】(1)原不等式可化为，因为，所以原不等式可化为，两边开平方得，所以，即，所以原不等式的解集为.(2)原不等式可化为x2-6x+100，因为x2-6x+10=(x-3)2+1，所以原不等式可化为(x-3)2k或(x-h)2k的形式.(3)根据k值情况确定不等式的解集.【习练破】1.(2019天津高考)设xR，使不等式3x2+x-20成立的x的取值范围为_.【解析】3x2+x-20，即(x+1)(3x-2)0，即-1x0.【解析】(1)原不等式可化为，因为，所以原不等式可化为，两边开平方得，所以，所以原不等式的解集为.(2)原不等式可化为x2-3x+0，
5、因为，所以原不等式可化为，所以只要，不等式即成立，所以原不等式的解集为.【加练固】解不等式(1)2x2-3x-20.【解析】(1)由2x2-3x-20得(x-2)(2x+1)0，解得-x-1，显然成立，所以原不等式的解集为R.类型二 解简单的分式不等式【典例】1.不等式0的解集是_.2.解不等式 2.世纪金榜导学号【思维引】先把分式不等式转化为整式不等式后再求解.【解析】1.因为0，所以(x-2)(x+4)0，故-4x0原不等式两边同乘以(x-2)2得：(x+1)(x-2)2(x-2)2且x-20，即(x-2)(-x+5)0，所以(x-2)(x-5)0，所以x0f(x)g(x)0；0f(x)g
6、(x)0或f(x)=0；0f(x)g(x)0且g(x)0f(x)g(x)0或x-1=0，解得x1或x=1，所以原不等式的解集为.【加练固】解不等式1.【解析】由题意x+30，所以(x+3)20，原不等式两边同乘以(x+3)2得：(2-x)(x+3)(x+3)2且x+30，即(x+3)(-2x-1)0，所以(x+3)(2x+1)0，故-3x-，故原不等式的解集为.类型三 一元二次不等式的实际应用【典例】某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购 a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x0)个百分点，预测收购量
7、可增加2x个百分点.世纪金榜导学号(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式.(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.【思维引】由题意构建函数关系或不等式解决问题.【解析】(1)降低税率后的税率为(10-x)%，农产品的收购量为a(1+2x%)万担，收购总金额为200a(1+2x%).依题意：y=200a(1+2x%)(10-x)%=a(100+2x)(10-x)(0 x10).(2)原计划税收为200a10%=20a(万元).依题意得：a(100+2x)(10-x)20a83.2%，化简得，x2+40 x-840，所以-42x2.又因为0 x10，所以
8、0 x2.所以x的取值范围是x|0 x2.【内化悟】求实际应用问题中未知数的取值范围，应注意什么隐含信息？提示：应注意未知数具有的“实际含义”，隐含着其取值范围的限制.【类题通】解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系.(3)求：解不等式.(4)答：回答实际问题.特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.【习练破】某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120 吨(0t24).(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？
9、最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？【解析】(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨，则y=400+60t-120 (0t24).令x=，则t=，所以y=400+10 x2-120 x=10(x-6)2+40(0 x12)，所以当x=6，即t=6时，ymin=40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨.(2)由已知400+10 x2-120 x80，得x2-12x+320，解得4x8，即，而，所以每天约有8小时供水紧张.【加练固】有一批净水机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类净水机，问去哪家商场购买花费较少？【解析】设该单位需购买x台净水机，甲、乙两商场的购货款的差价为y元，则因为去甲商场购买共花费(800-20 x)x，据题意，800-20 x440，所以1x18.去乙商场购买共花费600 x，xN*，所以y=(xN*)=(xN*)得故若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少.
