1、2.2.1 不等式及其性质你见过下图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1（单位：km/h，下同）应该满足100v1120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v2应该满足_60v21001.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系(难点)2会用比较法比较两实数的大小(重点)1.借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养2.通过大小比较，培养逻辑推理素养体会课堂探究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂新知探究在现实世界里，量与量之间的不等关系是普遍的，不等式是刻画不等关系的工具，我们用数学符号“”“”“”“”“”连
2、接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式上述不等式符号中，要特别注意“”“”事实上，住意给定两个实数a，b，那么abab或ab；ab_ab或ab【想一想】53，22，22这三个命题都是真命题吗？根据不等号的含义可知：三个命题都是真命题问题1 怎样理解两个实数之间的大小呢？结论：ab0ab，b0ab，ab0ab问题2 初中学过的不等式有哪些性质呢？不等式的三个性质：性质1 如果ab，那么acbc性质2 如果ab，c0，那么acbc性质3 如果ab，c0，那么acbc追问1：你能利用前面的知识，给出性质1的直观理解以及这三个性质的证明吗？追问1：你能利用前面的知
3、识，给出性质1的直观理解以及这三个性质的证明吗？性质1：因为（ac）（bc）acbcab，又因为ab，所以ab0，从而（ac）（bc）0因此acbc性质2：因为acbc（ab）c，又因为ab，所以ab0，而c0，因此（ab）c0，因此acbc0，即acbc追问2：你会用充分条件、必要条件来描述不等式的性质吗？试用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空：（1）ab是acbc的_条件；（2）如果c0，则ab是acbc的_条件；（3）如果c0，则ab是acbc的_条件充要充要充要追问3：不等式还有哪些性质呢？性质4 如果ab，bc，那么ac（通常称为不等关系的传递性）证明：因为ac（ab）（bc）
4、，又因为ab，所以ab0；且bc，所以bc0，因此（ab）（bc）0，从而ac0，即ac性质5 abba这只要利用ab（ba）就可以证明强调：值得注意的是，上述不等式性质对任意满足条件的实数都成立，因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母例1（1）比较x2x和x2的大小（1）因为（x2x）（x2）x22x2（x1）21，又因为（x1）20，所以（x1）2110，从而（x2x）（x2）0，因此x2xx2问题3 利用前面不等式的性质，我们还可以得到关于不等式的哪些结论？推论1 如果abc，那么acb证明 abcab（b）c（b）acb推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的
5、符号后，从不等式的一边移到另一边推论1通常称为不等式的移项法则推论2 如果ab，cd，那么acbd证明 根据性质1有abacbc，cd bcbd，再根据性质4可知acbd我们把ab和cd（或ab和cd）这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式推论2说明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向很明显，推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向方法总结：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法作差法的步骤：（1）作差：对要比较大小的两个代数式作差（2）变形：对差进行变形（因式分解或者配方等）（3）判断差的符
6、号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号（4）作出结论其思维过程是作差变形判断符号作出结论当不能直接得到正或负的结论时，还要考虑通过分类讨论来确定推论3 如果ab0，cd0，那么acbd证明 根据性质2有ab，c0acbc，cd，b0bcbd，再根据性质4可知acbd推论4 如果ab0，那么anbn（nN，n1）问题：不等式有没有与开方有关的性质呢？推论5 如果ab0，那么证明 假设，即或，根据推论4和二次根式的性质，得ab或ab这都与ab矛盾，因此假设不成立，从而例2（1）已知ab，cd，求证：acbd；（2）已知ab，ab0，求证：证明：（1）因为ab，cd，所以ab，cd，根据推论2，得acbd（2）因为ab0，所以0，又因为ab，所以a b ，即，因此不等式及其性质不等式的性质不等式比较大小作差法比较大小反证法比较大小不等式比较大小（1）同乘或同除一个数一定注意正负（2）作差比较大小注意化简数学运算：作差比较大小逻辑推理：反证法证明不等式方法总结核心知识易错提醒核心素养1.已知x0，y0，且xy2求证：，中至少有一个小于2证明：假设，都不小于2，即2，2，x，y0，1x2y，1y2x2xy2（xy），即xy2，与已知xy2矛盾，中至少有一个小于2应当随时学习，学习一切；应该集中全力，以求知道得更多，知道一切。高尔基
