1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元评估检测(三) (第八章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知等差数列an的前n项和为Sn,若a1=12,S5=90,则等差数列an的公差d=()A.2B.C.3D.4【解析】选C.因为a1=12,S5=90,所以512+d=90,解得d=3.2.在等差数列an中,a5+a13=40,则a8+a9+a10=()A.72B.60C.48D.36【解析】选B.根据等差数列的性
2、质可知:a5+a13=402a9=40a9=20,a8+a9+a10=2a9+a9=3a9=60.【变式备选】 在等差数列an中,a3+a9=27-a6,Sn表示数列an的前n项和,则S11=()A.18B.99C.198D.297【解析】选B.由等差数列的性质得2a6=27-a6,所以a6=9,又S11=11a6=99.3.已知等比数列an中,a3a13=20,a6=4,则a10的值是()A.16B.14C.6D.5【解析】选D.由等比数列性质可知a3a13=20,由a6=4,得q4=,所以a10=a6q4=5.【变式备选】 等比数列an中,a1+a2+a3=30,a4+a5+a6=120,
3、则a7+a8+a9=()A.240B.240C.480D.480【解析】选C.设等比数列an中的公比为q,由a1+a2+a3=30,a4+a5+a6=120,得解得q3=4,所以a7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)=480.4.中国古代数学名著张邱建算经中记载:“今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里”.其大意:现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里程数是前一天的一半,连续走了7天,共走了700里,则这匹马第7天所走的路程等于()A.里B.里C.里D.里【解析】选A.设马每天所走的路程是a1,a2,a7,是公比为的等比数列,这些项的和为700,S7=700a1=,a7=a1q6=.【
4、变式备选】 我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方:如图,将1,2,9填入33的方格内,使三行,三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地,将连续的正整数1,2,3,n2填入nn个方格中,使得每行,每列和两条对角线上的数字之和都相等,这个正方形叫做n阶幻方.记n阶幻方的对角线上的数字之和为Nn,如图三阶幻方的N3=15,那么N9的值为()A.369B.321C.45D.41【解析】选A.根据题意可知,幻方对角线上的数成等差数列,根据等差数列的性质可知对角线的首尾两个数相加正好等于1+n2,根据等差数列的求和公式Nn=,N9=369.5.已知等差数列an的公差不为零,Sn为其前n项
5、和,S3=9,且a2-1,a3-1,a5-1构成等比数列,则S5=()A.15B.-15C.30D.25【解析】选D.设等差数列an的公差为d(d0),由题意解得所以S5=51+=25.6.数列an的前n项和Sn=n2+1是an=2n-1成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解题指南】先根据关系式an=求出数列an的通项公式,注意验证n=1时是否成立,再看求出的通项公式与an=2n-1谁能推出谁即可.【解析】选D.由题意可得,当n=1时,a1=S1=1+1=2.当n2时, an=Sn-Sn-1=(n2+1)-(n-1)2+1=2n-1,经过验证后当
6、n=1时不符合上式,所以前n项和Sn=n2+1不能推出an=2n-1,反之,an=2n-1也不能推出Sn=n2+1.故数列an的前n项和Sn=n2+1是an=2n-1成立的既不充分又不必要条件.7.将石子摆成如图的梯形形状,称数列5,9,14,20,为“梯形数”.根据图形的构成,此数列的第2 021项=()A.1 0102 021B.1 0112 021C.1 0112 025D.1 0102 025【解析】选C.由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为:n=1时,a1=2+3=(2+3)2;n=2时,a2=2+3+4=(2+4)3;,由此我们可以推断:an=2+3+(n
7、+2)=2+(n+2)(n+1),所以a2 021=2+(2 021+2)(2 021+1)=1 0112 025.8.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且=,则=()A.B.C.D.15【解析】选B.因为=.9.已知数列an的前n项和为Sn,满足2Sn=3an-1,则通项公式an等于()A.an=2n-1B.an=2nC.an=3n-1D.an=3n【解析】选C.当n=1时,2S1=3a1-1,所以a1=1,当n2且nN*时,2Sn-1=3an-1-1,则2Sn-2Sn-1=2an=3an-1-3an-1+1=3an-3an-1,即an=3an-1,所以数列an是以1为首
8、项,3为公比的等比数列,所以an=3n-1.10.已知F(x)=f-2是R上的奇函数,an=f(0)+f+f+f(1),nN*,则数列an的通项公式为()A.an=nB.an=2(n+1)C.an=n+1D.an=n2-2n+3【解析】选B.由题已知F(x)=f-2是R上的奇函数,故F(-x)=-F(x),代入得:f+f=4(xR),所以函数f(x)关于点对称,令t=-x,则+x=1-t,得到f(t)+f(1-t)=4.因为an=f(0)+f+f+f(1),又因为an=f(1)+f+f+f(0),倒序相加可得2an=4(n+1),即an=2(n+1).11.已知函数f(x)=(xR),若等比数
9、列an满足a1a2 019=1,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a2 019)=()A.2 019B.C.2D.【解析】选A.因为a1a2 019=1,所以f(a1)+f(a2 019)=+=+=+=2.因为an为等比数列,则a1a2 019=a2a2 018=a1 009a1 011=1,所以f(a2)+f(a2 018)=2,f(a1 009)+f(a1 011)=2,f(a1 010)=1.即f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a2 019)=21 009+1=2 019.12.若正项递增等比数列an满足1+(a2-a4)+(a3-a5)=0(R),则a6+a7的最小值为世
10、纪金榜导学号()A.-2B.-4C.2D.4【解析】选D.因为an是正项递增的等比数列,所以a10,q1,由1+(a2-a4)+(a3-a5)=0,得1+(a2-a4)+q(a2-a4)=0,所以1+q=,所以a6+a7=a6(1+q)=(q2-1)+2+2+2=4(q2-10),当且仅当q=时取等号,所以a6+a7的最小值为4.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2020泰安模拟)已知数列an为等差数列且a7=,则sin(a2+a12)=.【解析】在等差数列an中,由a7=,得a2+a12=2a7=.所以sin(a2+a12)=sin=.答案
11、:【变式备选】 设等比数列an的公比q=2,前n项和为Sn,则=.【解析】=.答案:14.若三数成等比数列,其积为8,首末两数之和为4,则公比q的值为.【解析】三数成等比数列,设公比为q,可设三数为,a,aq,可得求出公比q的值为1.答案:115.(2020邯郸模拟)已知数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,bn-an=2n+1,且Sn+Tn=2n+1+n2-2,则2Tn=.【解析】由题意知Tn-Sn=b1-a1+b2-a2+bn-an=n+2n+1-2,又Sn+Tn=2n+1+n2-2,所以2Tn=Tn-Sn+Sn+Tn=2n+2+n(n+1)-4.答案:2n+2+n(n+1)-416.
12、(2020沈阳模拟)各项均为正偶数的数列a1,a2,a3,a4中,前三项依次成公差为d(d0)的等差数列,后三项依次成公比为q的等比数列.若a4-a1=88,则q的所有可能的值构成的集合为.世纪金榜导学号【解析】因为前三项依次成公差为d(d0)的等差数列,a4-a1=88,所以这四项可以设为a1,a1+d,a1+2d,a1+88,其中a1,d为正偶数,后三项依次成公比为q的等比数列,所以有=,整理得a1=0,得(d-22)(3d-88)0,22d,a1,d为正偶数,所以d=24,26,28,当d=24时,a1=12,q=;当d=26时,a1=,不符合题意,舍去;当d=28时,a1=168,q=
13、,故q的所有可能的值构成的集合为.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知等差数列an的公差d不为0,a1=3,且a2,a4,a7成等比数列.(1)求an的通项公式.(2)求a2+a4+a6+a2n.【解析】(1)因为a2,a4,a7成等比数列,所以=a2a7,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+6d),化简得(a1-3d)d=0,因为公差d0,所以a1=3d,因为a1=3,所以d=1,所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)知a2n=2n+2,故a2n是首项为4、公差为2的等差数列,所以a2+a4+a6+
14、a2n=n2+3n.【变式备选】 已知等比数列an的前n项和为Sn,满足S4=2a4-1,S3=2a3-1.(1)求an的通项公式.(2)记bn=lo,求b1+b2+bn的最大值.【解析】(1)设an的公比为q,由S4-S3=a4,得2a4-2a3=a4,所以=2,所以q=2.又因为S3=2a3-1,所以a1+2a1+4a1=8a1-1,所以a1=1.所以an=2n-1.(2)由(1)知,Sn=2n-1,所以bn=lo=2log224-n=8-2n,bn+1-bn=-2,b1=8-2=6,所以数列bn是首项为6,公差为-2的等差数列,所以b2=4,b3=2,b4=0,当n5时bna,综上可知,
15、当ba时,可使分流一年后的收入永远超过分流前的年收入.20.(12分)(2020武汉模拟)已知数列是各项均为正数的等差数列.(1)若a1=2,且a2,a3,a4+1成等比数列,求数列的通项公式an.(2)在(1)的条件下,数列的前n项和为Sn,设bn=+,若对任意的nN*,不等式bnk恒成立,求实数k的最小值.【解析】(1)因为a1=2,=a2(a4+1),又因为是正项等差数列,故d0,所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d),得d=2或d=-1(舍去) ,所以数列的通项公式an=2n.(2) 因为Sn=n(n+1),bn=+=+=-+-+-=-=,令f(x)=2x+(x1),则f(x)=2
16、-, 当x1时,f(x)0恒成立,所以f(x)在1,+)上是增函数,故当x=1时,f(x)min=f(1)=3,即当n=1时,=, 要使对任意的正整数n, 不等式bnk恒成立,则需使k=, 所以实数k的最小值为.【变式备选】 设公差不为零的等差数列an的前5项和为55,且a2,a4-9成等比数列.(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=,数列bn的前n项和为Sn,求证:Sn.【解析】(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d,则解得,或(舍去),故数列an的通项公式为an=7+(n-1)2=2n+5.(2)由an=2n+5,得bn=,所以Sn=+=1.又bn0,所以数列bn是单调递增数列.由
17、(1+S1)(1+S2)(1+Sn)k,得bnk.所以kb1=.所以存在正数k,使(1+S1)(1+S2)(1+Sn)k对一切正整数n都成立,且k的取值范围为.【变式备选】(2019江苏高考)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.(1)已知等比数列an(nN*)满足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求证:数列an为“M-数列”.(2)已知数列bn(nN*)满足:b1=1,=-,其中Sn为数列bn的前n项和.求数列bn的通项公式.设m为正整数,若存在“M-数列”cn(nN*),对任意正整数k,当km时,都有ckbkck+1成立,求m的最大值.【解题指南】(1)由题意分别求得
18、数列的首项和公比即可证得题中的结论.(2)由题意利用递推关系式讨论可得数列bn是等差数列,据此即可确定其通项公式;由确定bk的值,将原问题进行等价转化,构造函数,结合导函数研究函数的性质即可求得m的最大值.【解析】(1)设等比数列an的公比为q,所以a10,q0.由得解得因此数列an为“M数列”.(2)因为=-,所以bn0.由b1=1,S1=b1,得=-,则b2=2.由=-,得Sn=,当n2时,由bn=Sn-Sn-1,得bn=-,整理得bn+1+bn-1=2bn.所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列.因此,数列bn的通项公式为bn=n(nN*).由知,bk=k,kN*.因为数列cn为“M-
19、数列”,设公比为q,所以c1=1,q0.因为ckbkck+1,所以qk-1kqk,其中k=1,2,3,m.当k=1时,有q1;当k=2,3,m时,有ln q.设f(x)=(x1),则f(x)=.令f(x)=0,得x=e.列表如下:x(1,e)e(e,+)f(x)+0-f(x)极大值因为=,所以f(k)max=f(3)=.取q=,当k=1,2,3,4,5时,ln q,即kqk,经检验知qk-1k也成立.因此所求m的最大值不小于5.若m6,分别取k=3,6,得3q3,且q56,从而q15243,且q15216,所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上,所求m的最大值为5.【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.关闭Word文档返回原板块
