1、8.2.2 两角和与差的正弦、正切1.两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S+sin(+)=sin cos+cos sin,R两角差的正弦S-sin(-)=sin cos-cos sin,R【思考】对照识记两角和与差的余弦公式的方法,你能总结一下识记两角和与差的正弦公式的方法吗?提示:可简单记为“正余余正,符号同”,即展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦;展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相同.2.两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T+tan(+),+k+_(kZ)且tan tan 1两角差的正切T-tan(-)=,-k+_(kZ)且ta
2、n tan-1【思考】(1)由同角三角函数的商数关系知tan(+)=由此能否推导出两角和的正切公式?提示:能.tan(+)=,分子分母同除以cos cos 可得tan(+)=(2)两角和与差的正切公式中为什么限制,+,-都不等于k+(kZ)?提示:这是由正切函数的定义域决定的.3.辅助角公式:asin x+bcos x=sin(x+)(或asin x+bcos x=cos(x-),其中sin=,cos=(或cos=,sin=).【思考】辅助角公式是如何推导出来的?提示:推导过程:asin x+bcos x=令cos=,则asin x+bcos x=(sin xcos+cos xsin)=sin
3、(x+).【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角,是任意的.()(2)存在,R,使得sin(+)=sin+sin 成立.()(3)对任意,R,tan(+)=都成立.()(4)sin 56cos 26-cos56sin 26=sin 30.()提示:(1).根据公式的推导过程可得.(2).当=30,=0时,sin(+)=sin+sin.(3).两角和的正切公式的适用范围是,+k+(kZ)且tan tan 1.(4).因为sin 56cos 26-cos 56sin 26=sin(56-26)=sin 30,故原式正确.()【解析】选C.3.计算s
4、in =_.【解析】答案:类型一 两角和与差的正弦公式的应用角度1 化简、求值问题【典例】1.(2019河东高一检测)的值是()2.(2018全国卷)已知sin+cos=1,cos+sin=0,则sin(+)=_.3.若,则cos(+)的值为_.【思维引】1.由sin 40=sin 套用两角差的正弦公式化简可求值.2.把两个已知条件分别平方,求和,利用两角和的正弦公式可得答案.3.考虑如何利用已知条件中的角拼凑成所求问题中的角,可使用诱导公式.【解析】1.选A.原式=2.由sin+cos=1与cos+sin=0分别平方相加得sin2+2sin cos+cos2+cos2+2cos sin+si
5、n2=1,即2+2sin cos+2cos sin=1,所以sin(+)=-.答案:-3.因为0 +,-0,又已知sin 所以cos 所以cos(+)=答案:-【素养探】本例1考查利用两角和与差的正弦公式解决给角求值问题,突出考查了数学抽象与数学运算的核心素养.若本例1变形为下式,试求值.的值是()【解析】选A.原式=角度2 求角与求点的坐标问题【典例】1.已知,均为锐角,且sin=,cos=,则-=_.2.已知向量,将向量绕原点O顺时针旋转60到的位置,则点A的坐标为_.【思维引】1.先由已知的三角函数值,选择适当的三角函数名求出所求角的三角函数值,再由已知角的范围,确定所求角的值.2.利用
6、向量的几何意义、三角函数的定义、两角差的正余弦公式解答.【解析】1.因为,均为锐角,且sin=,cos=,所以cos=,sin=所以sin(-)=sin cos-cos sin=又因为,均为锐角,所以-,故-=-.答案:-2.如图,设A ,xOA=,所以xOA=-60,则=13,所以cos=,sin=,因此x=13cos 同理y=,所以A答案:【类题通】1.解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.(2)解决三角函数的给值求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系,用“
7、已知角”表示“所求角”.2.解决给值求角问题的一般思路(1)确定角的范围;(2)求角的正弦或余弦值;(3)根据角的范围写出要求的角.【习练破】1.已知cos (为锐角),则sin=()【解析】选D.因为 所以+2.已知,为锐角,cos=,sin(+)=,则=_.【解析】因为为锐角,且cos=,所以sin=又,为锐角,所以+(0,).又sin(+)=0,所以cos A ,所以C0,从而sin=同理可得sin=.因此tan=7,tan=.即tan(+)=-3.(2)tan(+2)=tan(+)+=-1.又0 ,0 ,故0+20,tan=-0,则-结合 ,则有2-(-2,-),所以2-=-.【加练固
8、】1.tan 10tan 20+(tan 10+tan 20)=()【解析】选B.原式=tan 10tan 20+(1-tan 10tan 20)tan(10+20)=tan 10tan 20+1-tan 10tan 20=1.2.在ABC中,C=120,tan A+tan B=,则tan Atan B的值为()【解析】选B.因为C=120,所以A+B=60,所以tan(A+B)=因为tan A+tan B=,所以tan A+tan B=(1-tan Atan B)=,解得tan Atan B=.3.已知,都是锐角,且tan=,tan=,tan=,则+=_.【解析】因为tan(+)=tan(+
9、)=1,因为tan=,且为锐角,所以0 ,同理0 ,0 ,所以0+,所以+=.答案:类型三 辅助角公式的应用【典例】1.cos-sin 化简的结果可以是()2.若函数f(x)=5cos x+12sin x在x=时取得最小值,则cos 等于世纪金榜导学号()【思维引】利用辅助角公式进行变形.【解析】1.选B.cos-sin=2.选B.f(x)=5cos x+12sin x=其中sin=,cos=,由题意知+=2k-(kZ)得=2k-(kZ),所以【内化悟】形如sin cos 的式子通常如何变形?提示:sin cos=2 【类题通】把形如y=asin x+bcos x的式子化为y=sin(x+),
10、可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.【习练破】1.函数f(x)=sin x-cos x,x 的最小值为()A.-2 B.-C.-D.-1【解析】选D.f(x)=,因为0 x ,所以-,-所以f(x)的最小值为-1.2.已知的值为()【解析】选B.【加练固】1.(2018全国卷)若f(x)=cos x-sin x在-a,a上是减函数,则a的最大值是()【解析】选A.f(x)=cos x-sin x=上单调递减,所以-a,a故-a-且a ,解得0a .2.若f(x)=3sin x-4cos x的一条对称轴方程是x=a,则a的取值范围可以是()【解析】选D.因为f(x)=3sin x-4cos x=5sin(x-)则sin(a-)=1,所以a-=k+,kZ,即a=k+,kZ,而tan=且0 ,所以 ,所以k+ak+,kZ,取k=0,此时a
