1、7.3.2 正弦型函数的性质与图像(一)1.正弦型函数(1)定义:形如y=Asin(x+)的函数;(2)条件:A,都是常数,且A0,0.(3)性质:定义域值 域周 期R【思考】当为何值时,正弦型函数为奇函数?当为何值时,正弦型函数是偶函数?提示:当=k,kZ时,正弦型函数是奇函数;当=+k,kZ时,正弦型函数是偶函数.2.参数A,对函数图像的影响(1)A(A0)对函数图像的影响y=sin x y=Asin x(2)对函数图像的影响y=sin x y=sin(x+)(3)(0)对函数图像的影响y=sin x y=sin x.【思考】由一般的函数f(x)的图像怎样得到函数f(x+a)的图像?提示:
2、将函数f(x)的图像当a0时,向左平移a个单位;当a0)个单位长度,所得图像正好关于原点对称,则的最小值为_.【思维引】1.提出系数后计算平移单位.2.逐一代入变换条件,求解析式.3.先表示出平移后的解析式,再利用图像关于原点对称求最小值.【解析】1.选B.因为y=2sin =2sin ,y=2sin =2sin ,由于,故把函数y=2sin 的图像上所有的点,向右平移个单位长度,可得y=2sin =2sin的图像.2.选B.将函数y=sin 图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得y=sin 的图像;再向右平移个单位,得到的图像对应的解析式为y=sin =sin .3.将函数
3、的图像向左平移(0)个单位长度,可得y=sin 的图像,再根据所得图像关于原点对称,可得+=k,kZ,当取最小值时,得+=2,=.答案:【内化悟】将函数y=sin x图像上所有点向右平移个单位,是针对x,还是针对x的变换?提示:针对x,即得到y=sin .【类题通】关于正弦型函数图像的变换(1)变换的要点:A(A0):横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍;(0):纵坐标不变,横坐标变为原来的倍;:左右平移的单位是.(2)变换的方向:进行图像变换时还要注意变换的顺序,分清是由哪一个函数变换到另一个函数.【习练破】1.(2020汕头高一检测)为了得到函数y=sin 的图像,只要把y=sin x的图像上
4、所有的点()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解析】选C.y=sin =sin ,所以得到函数y=sin 的图像,只要把y=sin x的图像上所有的点向左平移个单位.2.(2020岳阳高一检测)将函数f(x)=sin 2x的图像向右平移1个单位长度后得到g(x)的图像,则g(x)=()A.sin(2x-1)B.sin(2x+1)C.sin(2x-2)D.sin(2x+2)【解析】选C.将函数f(x)=sin 2x的图像向右平移1个单位长度后得到g(x)=sin2(x-1)=sin(2x-2)的图像,所以g(x)=sin(2x-2).【加练
5、固】已知曲线C1:y=sin x,C2:y=sin ,则下面结论中正确的是()A.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍.纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标伸长到原米的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2【解析】选B.因为已知曲线C1:y=sin x,C2:y=sin ,故把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,可得y=
6、sin 2x的图像;再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2.类型二“五点法”作正弦型函数的图像【典例】(2020石嘴山高一检测)已知函数y=3sin .(1)用五点作图在如图坐标系中作出上述函数在的图像.(请先列表,再描点,图中每个小矩形的宽度为)(2)请描述上述函数图像可以由函数y=sin x怎样变换而来?世纪金榜导学号【思维引】(1)按照列表、描点、连线的步骤作图.(2)由先左右平移、再横坐标伸缩,最后纵坐标伸缩的步骤变换.【解析】(1)因为x ,所以2x-0,2.列表如下:x2x-02y=3sin 030-30描点、连线,得出所要求作的图像如图:(2)把y=sin x的图像向右平
7、移个单位,可得y=sin 的图像;再把所得图像的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,可得y=sin 的图像;再把所得图像的纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变,可得y=3sin 的图像.【内化悟】“五点法”作图时五个点分别是哪几个特殊点?提示:五个点中,有最大值点、最小值点,还有图像与x轴的交点.【类题通】关于“五点法”作正弦型函数的图像“五点法”作正弦型函数图像的关键是列表,如作区间x1,x2上的图像,先求出两个端点处的相位x1+、x2+,再取出x1+,x2+内的五点,分别求出对应的x,y完成列表.【习练破】某同学作函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)在0,这一个周期内的简图时,列表并填入
8、了部分数据,如表:(1)请将上表数据补充完整,并求出f(x)的解析式.(2)作出f(x)在该周期内的图像.x+0 x0f(x)-3【解析】(1)如表:x+0 x0f(x)030-3由表可得,A=3,周期T=,故=2,再将最高点代入得,3sin =3,又由于|,故=,故f(x)=3sin .(2)对应的图像如图:【加练固】用“五点法”画函数y=2sin 的简图.【解析】先画函数在一个周期内的图像.令X=3x+,则x=,列表X02xy020-20描点作图,再将图像左右延伸即可.类型三 求正弦型函数的性质角度1 求最值【典例】函数y=-2sin +1的最大值为_,取得最大值时x=_.世纪金榜导学号【
9、思维引】利用正弦函数的最大值及取得最大值时的x值代入求解.【解析】ymax=-2(-1)+1=3,令2x-+2k,kZ,解得x=+k,kZ.答案:3+k,kZ【素养探】在求与正弦型函数有关的最值时,常常用到核心素养中的数学运算,分别计算出最值及相应的x值.本例中,试求函数的最小值及取得最小值时x的值.【解析】ymin=-21+1=-1,令2x-+2k,kZ,解得x=+k,kZ.角度2 求单调区间【典例】函数y=的单调递减区间是_,在区间0,上的单调减区间是_.【思维引】先由诱导公式将x的系数变为正,再代入正弦函数单调区间解出x.【解析】函数y=令+2k3x-+2k,kZ,解得,kZ.令k=0得
10、,;令k=1得所以在区间0，上的单调减区间为答案:,(kZ)【类题通】关于正弦型函数的单调区间(1)利用诱导公式将x的系数变正;(2)将x+看作整体,代入到正弦函数相应的单调区间中,解出x的范围,并写成区间的形式;(3)写单调区间时不要漏掉kZ.【习练破】1.函数y=2-3sin 的最大值为_,确定最大值时x=_.【解析】ymax=2+3=5,令2x-+2k,kZ,解得x=+k,kZ.答案:5+k,kZ2.函数y=2sin(+2x)的单调增区间是_.【解析】函数y=2sin(+2x)=-2sin2x,令+2k2x +2k,kZ,解得+kx +k,kZ.答案:,kZ【加练固】求函数y=3sin 的单调增区间.【解析】函数y=3sin =-3sin ,令+2k x+2k,kZ,解得+4kx +4k,kZ,所以单调增区间为,kZ.
