1、11.1.6 祖暅原理与几何体的体积一、祖暅原理1.几何体的体积一个几何体所占空间的大小称为这个几何体的体积.2.祖暅原理夹在两个平行平面间的两个几何体,如果被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积一定相等.【思考】(1)如果某个柱体底面积与长方体的底面积相等,高也相同,体积相等吗?提示:相等.依据祖暅原理可知,两者的体积相等.(2)柱体的体积可以转化为长方体的体积吗?提示:可以.依据柱体的定义、性质和祖暅原理可知,柱体的体积可以转化为长方体的体积.(3)祖暅原理解决什么问题?提示:祖暅原理提供了求不规则几何体体积的一种方法.二、柱体、锥体、台体的体积公式
2、1.柱体:柱体的底面面积为S,高为h,则V=Sh.2.锥体:锥体的底面面积为S,高为h,则V=Sh.3.台体:台体的上,下底面面积分别为S,S,高为h,则V=(S+S)h.【思考】将台体的上底面缩小或扩大,分析柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系是什么?提示:三、球的体积如果一个球的半径为R,那么球的体积公式为:V=R3.【思考】半球的截面面积与怎样一个图形的截面面积相等?提示:一个圆柱挖去一个倒立的圆锥与半球的截面面积相等.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)球是曲面几何体,其体积公式不会推导出来.()(2)锥体的体积等于底面面积与高之积.()(3)任何一个三棱柱都可以分
3、割成三个等体积的三棱锥.()提示:(1).虽然球是曲面几何体,但可以利用祖暅原理推导其体积公式.(2).锥体的体积等于底面面积与高之积的.(3).沿着三棱柱的三个面对角线,其中有两对共点,将三棱柱割开,则这三个三棱锥的体积相等,所以该命题正确.2.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为()【解析】选A.设球的半径为R,过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,由勾股定理可得一个半径为的圆,设所得截面的面积为S1,球的表面积为S2,所以3.圆台OO的上、下底面半径分别为1和2,高为6,则其体积等于_.【解析】V=(12+12+22)6=14.答案:144.正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,则其体积为_.【解析】如图,在OPA中,因为PA=3,OA=2 ,所以正四棱锥的高h=故正四棱锥的体积为V=答案:
