1、第9章 平 面 向 量9.1 向 量 概 念 必备知识自主学习1.向量与数量的概念(1)既有大小又有_的量叫作向量.(2)只有大小没有_的量叫作数量.2.有向线段(1)定义:具有_的线段叫作有向线段.(2)表示方法:以A为起点、B为终点的有向线段记作.(3)长度:线段AB的长度也叫作有向线段的长度,记作_.(4)三个要素:_、方向、长度.方向方向方向起点【思考】向量与有向线段的联系和区别是什么?提示:(1)有向线段是表示向量的一种图形.(2)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,这两个向量就是相同的向量.(3)有向线段有起点、长度和方向三个要素,起点不同,尽管长度和方向相
2、同,也是不同的有向线段.3.向量的表示方法(1)用有向线段表示:用有向线段表示的向量记作_.有向线段的长度|表示向量的_,有向线段的方向表示向量的_.(2)字母表示法:在印刷时,用黑体小写字母a,b,c,表示向量,手写时,可写成带箭头的小写字母,.大小方向4.向量的模及两个特殊向量(1)向量的模:向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.(2)零向量:长度为_的向量叫作零向量,记作_.(3)单位向量:长度等于_个单位长度的向量,叫作单位向量.零01【思考】0与0相同吗?0是不是没有方向?提示:0与0不同,0是一个实数,0是一个向量,且|0|=0.0有方向,其方向是任意的.5.相等向量(1)定义
3、:长度_且方向_的向量叫作相等向量.(2)表示方法:向量a与b相等,记作_.相等相同a=b6.平行向量(或共线向量)(1)定义和表示方法定义方向_或_的非零向量叫作平行向量.规定:_与任一向量平行.任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫作_向量.表示方法向量a与b平行,记作_对于任意向量a,都有0a.相同相反零向量共线ab(2)本质:平行向量反映的是两个向量的方向关系,表示两个共线向量的有向线段所在直线可以平行,也可以重合.(3)应用:证明直线与直线平行;证明三点共线.【思考】“向量平行”与“几何中的平行”一样吗?提示:向量平行与几何中的直线平行不同,向量平行包括所在直线重
4、合的情况,故也称向量共线.7.向量的夹角(1)定义:已知两个_向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则_=_叫作向量a与b的夹角(如图所示).AOB(0)非零(2)三种特殊情况:a与b的夹角a与b的关系0a与b_a与b_a与b_,记作_同向反向垂直ab【思考】(1)等边ABC中,向量,所成的角是60吗?提示:向量,所成的角是120.(2)向量夹角的范围与异面直线所成的角的范围相同吗?提示:向量的夹角和直线的夹角范围是不同的,它们分别是0,和0,.8.相反向量定义与向量a长度_,方向_的向量,叫作a的相反向量,记作_规定零向量的相反向量仍是零向量结论a和-a互为相反向量,于是-(-a)
5、=_a+(-a)=(-a)+a=_ 如果a,b互为相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=_相等相反-aa00【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)两个向量能比较大小.()(2)任意两个单位向量都相等.()(3)向量与向量是相等向量.()(4)若,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点.()2.已知向量a如图所示,下列说法不正确的是()A.也可以用表示B.方向是由M指向NC.起点是MD.终点是M【解析】选D.根据向量的表示方法判断即可.3.(教材二次开发:例题改编)如图所示,四边形ABCD和BCEF都是平行四边形.(1)写出与相等的向量:_;(2)写出与共线的向量:_.
6、答案:(1)(2)关键能力合作学习类型一 向量的概念、零向量与单位向量(数学抽象)【题组训练】1.下列说法中正确的是()A.0与0表示的含义相同B.长度为0的向量都是零向量C.单位向量的模等于1 cmD.单位向量的方向都相同2.如图,O为边长为1的正六边形ABCDEF的中心.根据图中标出的向量,回答下列问题:(1)与的长度相等吗?它们是相等向量吗?(2)与的长度相等吗?它们平行吗?它们是相等向量吗?3.判断下列各命题是否正确.(1)因为|=|,所以=;(2)因为|0|=0,所以0=0.【解析】(1)不正确.表示以A为起点,B为终点,方向从A指向B;表示以B为起点,A为终点,方向从B指向A;虽然
7、|=|,但与的方向不同.(2)不正确.向量是既有大小又有方向的量,而数量只有大小没有方向,故00.【解题策略】1.判断一个量是否为向量的两个关键条件(1)有大小.(2)有方向.两个条件缺一不可.2.理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.(2)单位向量不一定相等,易忽略向量的方向.提醒:两个单位向量的模相等,但这两个单位向量不一定相等.【补偿训练】给出下列说法:零向量是没有方向的;零向量的长度为0;零向量的方向是任意的;单位向量的模都相等.其中正确的是_(填序号).类型二 相等向量与共线向量(数学抽象、直观想象)【题组训练】角度1 概念辨析【典例】有下列
8、说法:若ab,则a一定不与b共线;在ABCD中,一定有;若a=b,b=c,则a=c;共线向量是在一条直线上的向量.其中,正确的说法是_.(填序号)【思路导引】依据相等向量和共线向量的定义逐个判断.要特别注意向量共线与平面几何中多点共线的区别.【变式探究】将本例改为若ab,bc,则ac.判断此说法是否正确.【解析】因为当b=0时,a,c可以是任意向量,故a,c不一定平行;只有当b0时,才有ab,bc,则ac.角度2 相等向量、平行向量【典例】如图所示,O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.在图中所示的向量中:(1)分别写出与,相等的向量;(2)写出与共线的向量.【思
9、路导引】(1)找与(或)长度相等且方向相同的向量;(2)找与方向相同或相反的向量.【解题策略】1.相等向量的判断方法先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向的.2.共线向量的判断方法先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向或反向的向量.3.共线向量与相等向量的关系相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.若两向量相等,则两向量方向相同,模相等;若两向量共线,则两向量方向相同或相反.【题组训练】1.给出以下5个条件:a=b;|a|=|b|;a与b的方向相反;|a|=0或|b|=0;a与b都是单位向量.其中能使ab成立的是_.(填序号)【解析】相等向量
10、一定是共线向量,能使ab;方向相同或相反的向量一定是共线向量,能使ab;零向量与任一向量平行,成立.答案:2.如图,四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形.(1)找出与相等的向量.(2)找出与共线的向量.3.如图,以12方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中:(1)写出与相等的向量;(2)写出与模相等的向量.类型三 向量的应用(直观想象、逻辑推理)【典例】一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后改变方向向北偏西40行驶了200 km到达C点,又改变方向,向东行驶了100 km到达D点.(1)作出向量;(2)求|.四步内容理解题意条件:从A点出发,向西行驶10
11、0 km到达B点,向北偏西40行驶200 km到达C点,向东行驶100 km到达D点.结论:(1)作出向量;(2)求|.思路探求(1)根据题意作出向量即可.(2)先证四边形ABCD为平行四边形,再求|.书写表达(1)向量,如图所示.(2)由题意,易知与方向相反,故与共线.又|=|,所以在四边形ABCD中,ABCD.所以四边形ABCD为平行四边形.所以=,|=|=200 km.注意书写的规范性:注意向量加箭头;画图时注意向量的方向,也就是箭头的方向.题后反思向量有大小和方向,但是起点、终点不是固定的,可以平行移动.1.准确画出向量的方法和注意事项(1)方法确定向量的起点.根据运动方向确定向量的方
12、向,并根据向量的大小确定向量的终点.(2)注意事项用有向线段来表示向量是向量的几何表示,必须确定起点、长度和终点,三者缺一不可.2.向量的常见应用(1)相等向量的应用利用向量的相等,可以证明线段相等或直线平行,但在证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点.(2)平行向量的应用用平行向量可以证明直线平行和三点共线,证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点.【跟踪训练】如图所示,在四边形ABCD中,N,M分别是AD,BC上的点,且.求证:.【补偿训练】如图所示的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格中有定点A,点C为小正方形的顶点,且|=,画出所有可能的向量.1.如图,在ABCD
13、中,点E,F分别是AB,CD的中点,图中与平行的向量的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.图中与平行的向量为共3个.课堂检测素养达标2.下列说法中正确的是()A.若ab,则|a|b|B.模为0的向量的方向是不确定的C.向量就是有向线段D.任意两个单位向量的方向相同3.如图所示,在ABC中,点D,E分别是AB和AC边的中点,则下列结论正确的是()A.和共线B.和共线C.和共线D.和共线4.给出下列几种说法:若A,B,C三点共线,则 ;任一非零向量都可以平行移动;长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量.其中说法正确的是_.(填序号)5.(教材二次开发:习题改编)在如图所示的坐标纸(每个方格的边长均为1)中,用直尺和圆规画出下列向量.(1)|=3,点A在点O正西方向;(2)|=3,点B在点O北偏西45方向;(3)|=2,点C在点O南偏东60方向.
