1、13.3 空间图形的表面积和体积13.3.1 空间图形的表面积必备知识自主学习1.几种特殊的多面体(1)直棱柱:侧棱和底面_的棱柱叫作直棱柱.(2)正棱柱:底面为_的直棱柱叫作正棱柱.(3)正棱锥:一个棱锥的底面是_,并且顶点在底面的射影是_,那么称这样的棱锥为正棱锥.正棱锥的_都相等,侧面均为全等的等腰三角形.(4)正棱台:_被平行于底面的平面所截,_和_之间的部分叫作正棱台.垂直正多边形正多边形底面中心侧棱长正棱锥截面底面2.几种简单几何体的侧面展开图与侧面积几何体直观图侧面展开图侧面积直棱柱S直棱柱侧=_正棱锥S正棱锥侧_正棱台S正棱台侧=_chch(c+c)h几何体直观图侧面展开图侧面
2、积圆柱S圆柱侧=_=_圆锥S圆锥侧=_=_圆台S圆台侧=_=_cl2rl(c+c)l(r+r)lcl rl【思考】圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系?提示:S圆柱侧=2rl S圆台侧=(r+r)l S圆锥侧=rl.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和.()(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.()(3)圆台的高就是相应母线的长.()提示:(1).(2).棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的,不一定是等腰梯形.(3).圆台的高是指两个底面之间的距离.2.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是(
3、)A.4B.3C.2D.【解析】选C.底面圆半径为1,高为1,侧面积S=2rh=211=2.3.(教材二次开发:例题改编)正四棱台上、下底面边长分别为2,4,侧面高为2,则其表面积为()A.20B.24C.36D.44【解析】选D.S=22+44+4(2+4)2=20+46=44.关键能力合作学习类型一 棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积(数学运算)【典例】已知正三棱锥P-ABC的底面边长为4 cm,它的侧棱与高所成的角为45,求正三棱锥的表面积.【思路导引】先求出正三棱锥的高PO,从而求出侧面的斜高PD进而求出侧面积和底面积.【变式探究】若将本例中“侧棱与高所成的角为45”改为“侧面都是直角三
4、角形”,如何求三棱锥的表面积?【解析】由已知得正三棱锥的侧面为全等的等腰直角三角形,设正三棱锥的侧棱长为x,则x2+x2=42所以x=2,所以S侧=3(2)2=12(cm2).又因为S底=4 cm2,所以S表=S侧+S底=12+4(cm2).【解题策略】求多面体的表面积对于简单几何体,我们可利用公式,直接求出其表面积,而在求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割(或补全)成基本的柱、锥、台体,先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差,求出几何体的表面积.【跟踪训练】已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上
5、、下底面面积之和,求棱台的高.类型二 圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积(数学运算)【典例】如图所示,在边长为4的正三角形ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,D为BC的中点,H,G分别是BD,CD的中点,若将正三角形ABC绕AD旋转180,求阴影部分形成的几何体的表面积.【思路导引】利用圆锥与圆柱的轴截面求解.【解析】该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体.令BD=R,HD=r,AB=l,EH=h,则R=2,r=1,l=4,h=.所以圆锥的表面积S1=R2+Rl=22+24=12,圆柱的侧面积S2=2rh=21=2.所以所求几何体的表面积S=S1+S2=12+2=(12+2).【解题策
6、略】(1)圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上,因此准确把握轴截面中相关量是求解旋转体表面积的关键.(2)解决柱体、锥体、台体、球体中的接、切问题,通常是作出轴截面,转化为平面问题来求解.【跟踪训练】圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180,那么圆台的表面积是多少?类型三 几何体侧面积和全面积的实际应用(数学建模、数学运算)【典例】用油漆涂100个圆台形水桶(桶内、外侧都要涂),桶口直径为30 cm,桶底直径为25 cm,母线长是27.5 cm,已知每平方米需要油漆150 g,共需要多少油漆?(精确到0.1 kg)【思路导引】求水桶的表
7、面积计算总油漆量.【解析】每个水桶需要涂油漆的面积为S=(S桶底+S侧)2=2=0.182 5(m2),因此100个水桶需要油漆1000.182 50.158.6(kg).【解题策略】对于有关几何体侧面积和全面积的实际问题,求解的关键是把题设信息数学化,然后借助数学知识解决该问题.【跟踪训练】如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体,若在它的各个面的中心位置上打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔,求打孔后的几何体的表面积是多少?(取3.14)备选类型 与空间几何体表面积相关的综合题(直观想象、数学运算)【典例】如图,在ABC中,ABC=45,BAC=90,AD是BC上的高,沿AD把
8、ABD折起,使BDC=90.(1)证明:平面ADB平面BDC;(2)若BD=1,求三棱锥D-ABC的表面积.【思路导引】(1)利用面面垂直的判定定理证明;(2)平面ABC为等边三角形,其余各面均是直角三角形.【解题策略】(1)棱柱、棱锥和棱台的表面积等于侧面积与底面积之和.棱柱、棱锥、棱台均是多面体,多面体的表面积的求法有两种:一种是分开算,把各个面的面积分别计算出来,再求其和;另一种是将它们沿某些棱剪开,计算平面展开图的面积.(2)多面体的有关表面积计算要抓住平面展开图,或者关键的线面长,如底面边长、高等.旋转体的表面积计算要抓住轴截面及旋转半径、母线长等.【跟踪训练】一个圆锥的底面半径为2
9、 cm,高为6 cm,在其中有一个高为x cm的内接圆柱.(1)求圆锥的侧面积;(2)当x为何值时圆柱侧面积最大?求出最大值.1.圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于()A.42B.51C.58D.67【解析】选D.S圆台表=S圆台侧+S上底+S下底=(3+4)6+32+42=67.课堂检测素养达标2.(教材二次开发:练习改编)已知各面均为等边三角形的四面体SABC(即正四面体SABC),棱长为a,则其表面积为_.3.一个圆柱的底面面积是S,其侧面积展开图是正方形,那么该圆柱的侧面积为_.【解析】设圆柱的底面半径为R,则S=R2,R=,底面周长c=2R.故圆柱的侧面积为S圆柱侧=c2=(2R)2=42=4S.答案:4S4.一座仓库的屋顶呈正四棱锥形,底面的边长为2.7 m,侧棱长为2.3 m,如果要在屋顶上铺一层油毡纸,则需多少油毡纸?(精确到0.1 m2)
