1、第3课时 距离、直线与平面所成的角 必备知识自主学习1.距离(1)点到平面的距离:从平面外一点引平面的垂线,这个点和_间的距离,叫作这个点到这个平面的距离.(2)直线到平面的距离:一条直线和一个平面平行,这条直线上_到这个平面的距离,叫作这条直线和这个平面的距离.垂足任意一点【思考】是不是任意直线与平面间都有距离?提示:不是,只有当直线与平面平行时才涉及距离问题.2.直线与平面所成的角直线与平面所成的角定义平面的一条斜线与它在这个平面内的_所成的_,叫作这条直线与这个平面所成的角当直线与平面垂直时,它们所成的角是_.当直线与平面平行或在平面内时,它们所成的角是_范围090画法如图,_就是斜线A
2、P与平面所成的角射影锐角900PAO直线与平面所成的角画法如图,_就是斜线AP与平面所成的角PAO【思考】直线l是平面的斜线,直线l与平面所成的角为,直线a是平面内的任意一条直线,直线l与直线a所成的角为,则,的大小关系是什么?提示:.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)一条直线和平面平行,或在平面内,则直线与平面所成的角为180.()(2)一条直线上任意一点到这个平面的距离就是这条直线到这个平面的距离.()(3)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.()2.若斜线段AB的长是它在平面上的射影长的2倍,则AB与平面所成的角是
3、()A.60B.45C.30D.1203.(教材二次开发:例题/习题改编)如图,ADEF的边AF平面ABCD,且AF=2,CD=3,则CE=_.关键能力合作学习类型一 点到平面的距离(直观想象、逻辑推理)【题组训练】1.正四面体ABCD的棱长为a,E是AD的中点,则点D到平面BCE的距离是()A.B.C.D.a2.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为CC1的中点,则点M到平面A1B1D的距离为()A.B.C.D.3.如图,在三棱锥S-ABC中,SA底面ABC,SA=4,AB=3,D为AB的中点,ABC=90,则点D到平面SBC的距离为_.【解题策略】求点到平面距离的两种方
4、法(1)直接法:直接法求点到平面的距离是根据点到平面距离的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段,进而根据平面几何的知识计算垂线段的长度而求得点到平面的距离.(2)转化法:有时候限于几何体的形状,不易直接寻找出点在平面的射影,或者由直接法作出的射影线段在所给几何体中不易计算其长度,此时利用转化法将点到平面的距离转化为另一点到平面间的距离.类型二 直线与平面所成的角(直观想象、逻辑推理)【典例】如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACBC,AC=BC=CC1,M,N分别是A1B,B1C1的中点.(1)求证:MN平面A1BC;(2)求直线BC1与平面A1BC所成的角的大小.【思路导引】(
5、1)连接AC1证明AC1平面A1BC.连接AB1,再证明MN平面A1BC.(2)连接BD,则C1BD为直线BC1与平面A1BC所成的角.【解题策略】求直线与平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;(3)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.【跟踪训练】如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,侧棱长为2,E,F分别为CC1,DD1的中点.(1)求证:A1F平面BEF;(2)求直线A1B与平面BEF所成的角的正弦值.1.平面内的MON=60,PO是的斜线,PO=3,POM=PON=45,那么点P到平面的距离是()A.B.C.D.【解析】选A.cosPOM=cos POHcos MOH,所以=cos POH.所以cos POH=.所以sin POH=,所以PH=POsinPOH=3=.课堂检测素养达标2.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为,底面三角形的边长为1,则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小是()A.30B.45C.60D.903.(教材二次开发:练习改编)在ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是_.4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
