1、第2课时 直线与平面垂直 必备知识自主学习1.直线与平面垂直(1)定义:如果直线a与平面内的_直线都垂直,那么称直线a与平面垂直,记作_.直线a叫作平面的_,平面叫作直线a的_.垂线和平面的交点称为_.任意一条a垂线垂足垂面(2)画法:通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图:【思考】如果直线和平面垂直,那么直线与平面内的直线是什么位置关系?提示:垂直.2.直线与平面垂直的判定定理与性质定理(1)直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的_垂直,那么该直线_图形语言符号语言am,an,_,_,则a两条相交直线与此平面垂直mn=A m,n【思考】定理中的“相交”能去掉
2、吗?提示:不能,如果是平行直线,则直线与平面不一定垂直.(2)直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线_符号语言_图形语言作用线面垂直线线平行;作平行线平行ab【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直.()(2)如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直,那么这条直线一定不与这个平面垂直.()(3)若ab,b,则a.()2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与BC1垂直的平面是()A.平面DD1C1CB.平面A1B1CDC.平面A1B1C1D1D.平面A1DB【解析】选B.由于易证BC1B
3、1C,又CD平面BCC1B1,所以CDBC1.因B1CCD=C,所以BC1平面A1B1CD.3.(教材二次开发:例题/习题改编)若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于()A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC【解析】选C.因为OAOB,OAOC,OBOC=O,OB,OC平面OBC,所以OA平面OBC.关键能力合作学习类型一 直线与平面垂直定义的理解(数学抽象)【题组训练】1.已知平面及外一条直线l,给出下列说法:若l垂直于内两条直线,则l;若l垂直于内所有直线,则l;若l垂直于内任意一条直线,则l;若l垂直于内两条平行直线,则l.其中,正确说法的个数是()
4、A.0B.1C.2D.32.直线l平面,直线m,则l与m不可能()A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直3.设l,m是两条不同的直线,是一个平面,则下列说法正确的是()A.若l,lm,则mB.若l,m,则lmC.若lm,m,则lD.若l,m,则lm【解题策略】直线与平面垂直定义的理解(1)直线与平面垂直要求直线与平面内的任一直线都垂直;(2)“任一直线”与“所有直线”表示相同的含义.但“任一直线”与“无数条直线”含义不一样.类型二 直线与平面垂直的判定定理的应用(逻辑推理)【典例】如图,AB为O的直径,PA垂直于O所在的平面,M为圆周上任意一点,ANPM,N为垂足.(1)求证:AN平面PBM;
5、(2)若AQPB,垂足为Q,求证:NQPB.【思路导引】(1)先证明BMAN,再结合ANPM可得结论;(2)证明PB平面ANQ可得PBNQ.【解题策略】线线垂直和线面垂直的相互转化【跟踪训练】如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,AB=AC=1,AA1=2,B1A1C1=90,D为BB1的中点.求证:AD平面A1DC1.类型三 直线与平面垂直的性质定理的应用(直观想象、逻辑推理)【典例】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且EFA1D,EFAC.求证:EFBD1.【思路导引】利用直线与平面垂直的性质定理证明EF,BD1垂直于平面AB1C
6、可得结论.【解题策略】空间中证明两条直线平行的方法(1)利用线线平行的定义证两线无公共点;(2)若ab,bc,则ac;(3)利用直线与平面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行;(4)若a,b,则ab(直线与平面垂直的性质定理).【跟踪训练】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN平面A1DC.求证:MNAD11.已知ABC和两条不同的直线l,m,lAB,lAC,mAC,mBC,则直线l,m的位置关系是()A.平行 B.异面C.相交 D.垂直【解析】选A.因为直线lAB,lAC,所以直线l平面ABC,同理直线m平面ABC,根据直线与平面垂直的性质定理得lm.课堂检测素养达标2.(教材二次开发:练习改编)如图,BC是RtBAC的斜边,PA平面ABC,PDBC于点D,则图中直角三角形的个数是()A.3B.5C.6D.83.如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直,则顶点在底面的正投影是底面三角形的_心.【解析】三棱锥的三个侧面两两相互垂直,则三条交线两两互相垂直,易证投影是底面三角形的垂心.答案:垂4.如图所示,侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,ACB=90,C点到AB1的距离为CE,D为AB的中点.求证:(1)CDAA1;(2)AB1平面CED.
