1、13.1.3 直观图的斜二测画法必备知识自主学习1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则:(1)建系:在已知图形中取_的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x轴与y轴,两轴交于点O,且使xOy=_,它们确定的平面表示水平面.(2)平行不变:已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成_于x轴或y轴的线段.(3)长度规则:已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度_,平行于y轴的线段,长度为原来的_.互相垂直45平行一半不变2.用斜二测画法画空间图形的直观图,其规则是:上面画直观图的方法叫作斜二测画法,其规则是:(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴
2、,两轴交于O点,再取z轴,使xOz=90,yOz=90.(2)画直观图时把它们画成对应的x轴、y轴和z轴,它们相交于点O,并使xOy=_,xOz=_,x轴和y轴所确定的平面表示水平面.(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成_于x轴、y轴或z轴的线段.(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段,在直观图中保持原_,平行于y轴的线段,长度为原来的_.45(或135)90平行一半长度不变【思考】1.斜二测画法中“斜”“二测”怎样理解?提示:“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段,在直观图中均与x轴成45或135;“二测”是指两种度量形式,即在直观图中,平行于x轴或z
3、轴的线段长度不变;平行于y轴的线段长度变为原来的一半.斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点,并在直观图中画出.2.在直观图中有哪些“变”的量与“不变”的量?提示:(1)平面图形用其直观图表示时,一般平行关系不变;(2)点的共线性不变,线的共点性不变,但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化);(3)有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)用斜二测画法画水平放置的A时,若A的两边分别平行于x轴和y轴,且A=90,则在直观图中,A=45.()(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时,平行的线段在直观图中仍平行,且
4、长度不变.()(3)在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.()提示:(1).也可能有A=135.(2).平行的线段在直观图中仍平行,但长度可能改变.(3).在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.2.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图,正确的是图中的()【解析】选C.正方形的直观图应是平行四边形,且相邻两边的边长之比为21.3.(教材二次开发:习题改编)已知两个圆锥,底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,且两顶点不同侧,则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A.2 cm
5、B.3 cmC.2.5 cmD.5 cm【解析】选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2+3=5(cm),在直观图中与z轴平行的线段长度不变,仍为5 cm.关键能力合作学习类型一 水平放置的平面图形的直观图(直观想象)【题组训练】1.在用斜二测画法画水平放置的ABC时,若A的两边分别平行于x轴、y轴,则在直观图中A等于()A.45B.135C.90D.45或1352.如图所示为水平放置的正方形ABCO,它在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的它的直观图中,顶点B到x轴的距离为_。3.画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.【解题策略】画水平放置
6、的平面图形的直观图的技巧(1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.(2)在直观图中,确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易,但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上,就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段,将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定.(3)同一个图形选取坐标系的角度不同,得到的直观图可能不同.类型二 空间图形直观图的画法(直观想象)【典例】已知一个正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为6,高为4,用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.【思路导引】严格按照斜二测画法
7、的要求和步骤进行作图.【解析】(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使xOy=45,xOz=90.(2)画下底面.以O为中点,在x轴上取线段EF,使得EF=6,在y轴上取线段GH,使得GH=3,再过G,H分别作ABEF,CDEF,且使得AB的中点为G,CD的中点为H,连接AD,BC,这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图.(3)画上底面.在z轴上截取线段OO1=4,过O1作O1xOx,O1yOy,使xO1y=45,建立坐标系xO1y,在xO1y中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图.(4)连接AA1,BB1,CC1,DD1,擦去辅助线,得到的图形就是所求的正
8、四棱台的直观图(如图).【解题思略】画空间图形的直观图的原则(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系,并且把它们画成对应的x轴与y轴,两轴交于点O,且使xOy=45(或135),它们确定的平面表示水平面,再作z轴与平面xOy垂直.(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x轴的线段并且长度不变.(3)平行于y轴的线段画成平行于y轴的线段,且线段长度画成原来的一半.(4)平行于z轴的线段画成平行于z轴的线段并且长度不变.【跟踪训练】用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCD-ABCD的直观图.【拓展延伸】圆的直观图水平放置的平面图形的直观图,可以采用斜二
9、测画法,那在画圆的直观图时该怎么进行呢?我们可以用正等测画法画圆的直观图.正等测画法圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆,在画直观图时一般不用斜二测画法,而采用正等测画法,正等测画法的规则是:(1)如图,取互相垂直的直线Ox,Oy作为图形O所在平面内的直角坐标系的x轴和y轴,画直观图时将它们画成对应的x轴和y轴,并使xOy=120(或60),x轴和y轴所确定的平面表示水平面;(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段;(3)平行于x轴或y轴的线段,在直观图中保持长度不变.这样得到的圆的直观图是椭圆,圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆面,在画底面时就要画成椭圆.但是画这种
10、椭圆的方法比较麻烦,在实际画水平放置的圆的直观图时,可以用椭圆模板.【拓展训练】1.一个机器部件,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3 cm,高为3 cm,圆锥的高为3 cm,画出此机器部件的直观图.2.画一个正四棱锥(底面为正方形,侧面为全等的等腰三角形)的直观图(尺寸自定).【解析】步骤:(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,使xOy=45,xOz=90.(2)画底面.以O为中心,在xOy平面内,画出正方形的直观图ABCD.(3)画顶点.在Oz轴上截取OS,使OS等于已知正四棱锥的高.(4)画棱.连接SA,SB,SC,SD,擦去辅助线(坐
11、标轴),得到正四棱锥S-ABCD的直观图,如图所示.类型三 直观图的还原与计算(直观想象、数学运算)角度1 直观图还原为原图形【典例】如图所示,梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1Oy,A1B1C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=OD1=1.试画出原四边形.【思路导引】由直观图还原为平面图的关键是找与x轴、y轴平行的直线或线段,且平行于x轴的线段还原时长度不变,平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.【解析】如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=OD1=1,OC=OC1=2.在过点D与y轴平行的直线
12、上截取DA=2D1A1=2.在过点A与x轴平行的直线上截取AB=A1B1=2.连接BC,便得到了原图形(如图).【变式研究】本例的条件“A1D1Oy”若改为“A1D1Ox”,试画出原四边形.【解析】如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=OD1=1,OC=OC1=2.经过计算,OB1=.在y轴上截取OB=2.在过点B与x轴平行的直线上截取AB=A1B1=2.连接BC,AD,便得到了原图形(如图).角度2 直观图和原图形的计算问题【典例】已知等边三角形ABC的边长为a,那么等边三角形ABC的直观图ABC的面积为()A.a2B.a2C.a2D.a2【思路导引】求直观图的面积,第一种方法:
13、根据原图形画出直观图,在直观图中求面积.第二种方法:求原图形的面积之后利用公式S=S进行求解.【解题策略】直观图与原图面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S,则有S=S或S=2 S.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.【题组训练】1.如图,RtOAB是一个平面图形的直观图,若OB=,则这个平面图形的面积是()A.1B.C.2 D.4 2.直观图(如图)中,四边形OABC为菱形且边长为2 cm,则在xOy坐标中原四边形OABC为_(填形状),面积为_cm2.【解析】由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,其中OA=2 cm,OC=4
14、 cm,所以四边形OABC的面积S=24=8(cm2).答案:矩形 83.如图,一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45,腰和上底长均为1的等腰梯形,求原图形的面积.【解析】一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45,腰和上底长均为1的等腰梯形,所以其直观图的面积S=(1+1+)=.因此可得原平面图形的面积S=2+.1.下面每个选项的2个边长为1的正ABC的直观图不是全等三角形的一组是()【解析】选C.可分别画出各组图形的直观图,观察可得结论.课堂检测素养达标2.如图所示为某一平面图形的直观图,则此平面图形可能是()【解析】选C.根据斜二测画法可知,此直观图的平面图形可能是C.3.(教材二次开发:练习改编)如图所示,ABC是水平放置的ABC的直观图,则在原ABC的三边及中线AD中,最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.AC【解析】选D.还原ABC,即可看出ABC为直角三角形,故其斜边AC最长.4.如图所示为一个平面图形的直观图,则它的原图形四边形ABCD的形状为_.5.利用斜二测画法得到:三角形的直观图是三角形;平行四边形的直观图是平行四边形;正方形的直观图是正方形;菱形的直观图是菱形.以上结论中,正确的是_(填序号).【解析】斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变,因此三角形的直观图是三角形,平行四边形的直观图是平行四边形.答案:
