1、华中师大一附中20192020学年度上学期期中考试高三年级数学（理科）答案 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合，则的子集个数为（ B ）A. 2 B4 C6 D82. 设命题：，则为 （ D ）A B C D3. 若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为 （ B ）A. B. 2 C. D. 4. 我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。问两鼠在第几天相遇？（ B ） A.
2、 第2天 B.第3天 C.第4天 D.第5天 5. 已知变量,满足约束条件，则的最小值为（ A ）A.1 B.2 C.3 D.66. 已知等差数列的前项和满足且的最大项为，则（ D ） A. 20 B.22 C.24 D.267. 右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论 与所成的角为| 二面角的大小为其中正确的个数是（ C ）A.1 B.2 C.3 D. 4 8. 已知中，为中点，若，则的值为 （ C ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 109. 若，则的大小关系为 （ A ）A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图像如右图所示，且，则的值为 （ C ）A. B.
3、C. D. 11. 已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（ D ）A. B. C. D. 12. 已知，若对于任意的，均有成立，则实数a的最小值为（ B ） A. B.1 C. D. 3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 曲线在点处的切线方程为 14. 已知，则 15. 已知的内角的对边分别为.若，的面积为，则面积的最大值为 16. 已知的外接圆圆心为O，若有最小值，则参数的取值范围是 三、解答题：(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. （本小题满分12分）已知的内角的对边分别为， （1）求角C （2）BM平分角B交AC于点M，且，求
4、解：（1）由题 .2分 又 4分（2）记，则，在中，在中，即 .10分即或（舍） .12分 18. （本小题满分12分）已知数列的前项和为， （1）证明：数列为等差数列 （2）若数列满足，求数列的前项和 解：（1）时， 2分 即同除以得为等差数列，首项为1，公差为1 6分 （2）由（1）知 .8分 .10分 .12分19. （本小题满分12分）已知函数（1）求函数的最大值并指出取最大值时的取值集合（2）若为锐角，求的值解：（1）.2分令 得所以最大值为2，此时的取值集合为 .4分 （2）由为锐角，得 6分 又 .8分 10分 12分（说明：若不利用三角函数值压缩的范围而直接得出正确答案的或者得
5、出两个答案的，扣2分） 20. （本小题满分12分）已知四棱锥的底面是直角梯形，|，为的中点，（1）证明:平面平面（2）若，与平面所成的角为，试问“在侧面内是否存在一点，使得平面？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由 解（1）证明:由四边形ABCD是直角梯形, AB=，BC=2AD=2，ABBC，可得DC=2,BCD=，从而BCD是等边三角形,BD=2,BD平分ADC. E为CD的中点,DE=AD=1,BDAE,又PBAE,PBBD=B,AE平面PBD. 又AE平面ABCD平面PBD平面ABCD. .4分 (2) 在平面PBD内作POBD于O,连接OC,又平面PBD平面ABCD,平
6、面PBD平面ABCD=BD,PO平面ABCDPCO为PC与平面ABCD所成的角, 则PCO= .6分易得OP=OC= PB=PD,POBD,O为BD的中点,OCBD.以OB,OC,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(0,0),D(-1,0,0),P(0,0,), 假设在侧面内存在点，使得平面成立，设，易得 8分由得，满足题意 10分所以N点到平面ABCD的距离为 .12分（说明：若没有说明或者用其它方法解答但没有说明点N在侧面上，扣2分）21. （本小题满分12分）（1）已知，证明：当时， （2）证明：当时，有最小值，记最小值为，求的值域 解：（1）证明：在上单增 时，即时， 4分 （2） 由在上单增且 知存在唯一的实数，使得，即 单减；单增 ，满足 .8分 .10分 记，则在上单减 所以的值域为 .12分22. （本小题满分10分）已知函数（1）解不等式（2）若函数最小值为，且，求的最小值解：（1）当时，无解 当时，得 当时，得 所以不等式解集为 .5分（2） 当且仅当时取等 当且仅当时取等 所以当时，最小值为4，即， 7分所以 所以 当且仅当且即时取“=” 所以最小值为 .10分- 13 -
