1、11.2 正 弦 定 理必备知识自主学习1.正弦定理(1)正弦定理条件 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c结论 _ _=2R(R是ABC外接圆的半径)文字叙述 在一个三角形中,各边和它所对角的_的比相等正弦(2)本质:三角形中,边与其对角的正弦之间的关系.(3)应用:求解三角形中的边或角;进行三角形中边角之间的互化从而判断三角形的形状或求解三角形的综合问题.【思考】利用正弦定理可以解决哪些类型的问题?提示:(1)已知两角和任意一边,求其他两边和第三个角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而求出其他的边和角.2.正弦定理的变形若R为ABC外接圆的半径,则(1)a=2
2、Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;(2)sin A=,sin B=,sin C=;(3)sin Asin Bsin C=abc;(4);(5)SABC=absin C=bcsin A=acsinB.【思考】如何利用正弦定理把三角形的边化为角,角化为边?提示:利用正弦定理的变式a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C实现边化角;利用公式sin A=,sin B=,sin C=角化边.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)正弦定理不适用于直角三角形.()(2)在ABC中,若sin A=sin B,则A=B.()(3)在ABC中,若AB,则si
3、n Asin B.()提示:(1).正弦定理是适用于任何三角形的.(2).在ABC中,若sin A=sin B,由正弦定理得=,故a=b,则A=B.(3).在ABC中,若AB,则ab,由正弦定理得2Rsin A2Rsin B,所以sin Asin B.2.在ABC中,a=3,b=5,sin A=,则sin B=()A.B.C.D.1【解析】选B.因为a=3,b=5,sin A=,所以由正弦定理得sin B=.3.(教材二次开发:例题改编)在ABC中,若A=60,B=45,BC=3,则AC=()A.4B.2C.D.【解析】选B.由正弦定理得:=,所以.关键能力合作学习类型一 已知两角及一边解三角
4、形(数学运算)【题组训练】1.(2020长沙高一检测)已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=30,B=45,则=()A.B.C.D.2.在ABC中,a=10,B=60,cos C=,则c等于()A.20(+2)B.20(-2)C.+2D.203.在ABC中,已知c=10,A=45,C=30,解这个三角形.【解题策略】已知三角形的两角和任一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角.(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.【补偿训练】1.在ABC中,已知a
5、=8,B=60,C=75,则b=()A.4B.4C.4D.【解析】选C.A=180-B-C=45,由正弦定理,得b=.2.在ABC中,A=60,sin B=,a=3,求三角形中其他边与角的大小.【解析】因为sin B=,所以B=30或150,当B=30时,由A=60得C=90;当B=150时,不合题意,舍去.所以由正弦定理,得类型二 已知两边及其中一边的对角解三角形(数学运算)【典例】在ABC中,已知c=,A=45,a=2,解这个三角形.四步内容理解题意条件:已知三角形的两边及一边对角结论:求该三角形的其他边与角思路探求利用正弦定理求出sin C的值,再解其他元素,注意三角形解的个数.书写表达
6、因为所以因为0Cb,所以B=45.【拓展延伸】1.已知两边及一边对角解三角形的个数判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsin Absin Aabab解的个数一解两解一解一解无解2.解题思路在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其他边角的问题时,首先必须判断是否有解,如果有解,是一解还是两解,注意“大边对大角”在判定中的应用.运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.【拓展训练】(2020进贤高一检测)在ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=60,b=2,为使此三角形有两个,则a满足的条件是()A.0a2B.0a3C.3a2D.a2或a=3【解析】选C.设C到AB的距离
7、d=bsin A=3,所以当3a2时符合条件的三角形有两个.类型三 正弦定理、余弦定理的综合应用(数学运算、逻辑推理)角度1 三角形形状的判断【典例】在ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin 2A=sin B+sin 2C,试判断ABC的形状.【思路导引】解决本题的关键是把sin 2A=sin 2B+sin 2C转化为三角形三边的关系,从而求出角A,然后再利用sin A=2sin Bcos C求解.【变式探究】将本例条件“sin A=2sin Bcos C,且sin 2A=sin 2B+sin2C”改为“a2tan B=b2tan A”,试判断ABC的形状.【解析】在ABC中
8、,由,可得,所以.又因为a2tan B=b2tan A,所以=,所以=,所以sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=,即A=B或A+B=.所以ABC为等腰三角形或直角三角形.角度2 正弦、余弦定理的综合应用【典例】1.在ABC中,若a=3,cos C=,SABC=4,则b=_.2.(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若a+b=2c,求sin C.【思路导引】1.根据cos C的值,求出sin C的值,再根据三角形的面积公式
9、求出边b的值;2.(1)由正弦定理化角为边,再用余弦定理的推论求角A;(2)由正弦定理化边为角,结合(1)的结论,利用三角恒等变换求sin C.【解题策略】1.判定三角形形状的两种常用途径(1)化角为边:利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断;(2)化边成角:通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.2.解三角形时的边角互化化边(角)为角(边):将题目中所有的条件,利用正弦定理或余弦定理化边(角)为角(边),再利用三角恒等变换找出三角的关系.【题组训练】1.(2020濮阳高一检测)已知a,b,c分别是ABC的内角A,
10、B,C所对的边,满足,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.由正弦定理得,又,得,即tan A=tan B=tan C,所以A=B=C,即ABC为等边三角形.2.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c-acos B=(2a-b)cos A,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.(2020潍坊高一检测)在ABC中内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcos C+ccos B=2acos A且ABC的面积为,则B=()A.B.C.D.【补偿训练】(2020扬州高一检
11、测)在ABC中内角A,B,C所对边分别为a,b,c,A=,b=1,SABC=,则的值等于()备选类型 正弦定理的实际应用(数学建模)【典例】(2020苏州高一检测)如图,在路边安装路灯,灯柱AB与地面垂直,灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直,且ABC=120,路灯C采用锥形灯罩,射出的光线如图阴影部分所示,已知ACD=60,路宽AD=24(m),设灯柱高AB=h(m),ACB=(3045).(1)求灯柱的高h(用表示);(2)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同,记所用材料的长度为S,求S关于的函数表达式,并求出S的最小值.【思路导引】(1)由已知得BAC=60-,CAD=30+,又ACD=60
12、,ADC=90-,在ACD中和在ABC中,运用正弦定理可求得答案;(2)在ABC中,运用正弦定理可得BC=8+8cos 20-8sin 20,运用三角恒等变换和三角函数的性质可求得最小值.【解题方略】利用正弦定理解决实际问题的步骤1.认真审题,弄清题意.有图形则借助图形,无图形则作出规范图形辅助解决.2.转化.将实际问题转化为解三角形问题,利用正弦定理进行数据求解.3.还原问题.将求得的解还原到实际问题中去,即除了解三角形自身限制外还要注意实际问题的限制.4.作出解答.【跟踪训练】(2020扬州高一检测)如图,某数学学习兴趣小组的同学要测量学校地面上旗杆CD的高度(旗杆CD垂直于地面),设计如
13、下的测量方案:先在地面选定距离为30米的A,B两点,然后在A处测得BAC=30,在B处测得ABC=105,DBC=45,由此可得旗杆CD的高度为_米,CAD的正切值为_.1.(2020沈阳高一检测)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列等式正确的是()A.ab=ABB.ab=sin Asin BC.ab=sin Bsin AD.asin A=bsin B【解析】选B.由正弦定理可得ab=sin Asin B,可知B正确.课堂检测素养达标2.(2020珠海高一检测)在锐角ABC中,下列不等关系总成立的是()A.sin Acos BB.sin Bsin BD.sin Bcos A【
14、解析】选D.因为在锐角ABC中,0AA+BA-B0,因为sin Asin=cos B,故A选项不正确,因为sin A与sin B大小不定,所以C选项不正确,所以cos Aa,所以BA,结合题意可知B=或.答案:或4.在ABC中,若则B的度数为_.【解析】根据正弦定理知,结合已知条件可得sin B=cos B,又0B180,所以B=45.答案:455.ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,b=,A=60,则角B=_,ABC的面积是_.【解析】在ABC中由正弦定理得则sin B=又因为ba,所以BA,所以B=45,则C=75,则ABC的面积为absin C=sin 75=.答案:45
