1、阶段复习课第二课 向量的数量积与三角恒等变换 网络体系构建【答案速填】ab=0|a|2_|a|b|2cos2-1易错案例警示易错一 忽视向量的线性运算与数量积运算法则【案例1】已知,则=.【解析】由向量得=21+43=14且=22+42=20所以=14-20=-6.答案:-6【易错分析】如果忽视了平面向量的减法运算法则,那么就不能得到向量,从而无法进一步计算平面向量的数量积.【避错警示】本题也可以先计算平面向量的坐标,即再计算向量的数量积=-6.易错二 忽视平面向量的坐标运算【案例2】如图,点P是以AB为直径的圆O上的动点,P是点P关于AB的对称点,AB=2a(a0).(1)当点P是弧上靠近B
2、的三等分点时,求的值.(2)求的最大值和最小值.【解析】(1)如图,以直径AB所在直线为x轴,以O为坐标原点建立平面直角坐标系.因为P是弧上靠近点B的三等分点,连接OP,则BOP=,所以点P坐标为.又点A坐标是(-a,0),点B坐标是(a,0),所以=(2a,0),所以=3a2.(2)设POB=,0,2),则P(acos,asin),P(acos,-asin)所以=(acos+a,asin),=(acos,-asin).所以=a2cos2+a2cos-a2sin2=a2(2cos 2+cos-1)=当cos=-时,有最小值-a2,当cos=1时,有最大值2a2.【易错分析】如果忽视了平面向量的
3、坐标运算,那么就不能灵活建立平面直角坐标系,从而导致难以解决向量的数量积的最大值和最小值.【避错警示】解决与动点有关的平面向量的数量积的最大值最小值问题,探究性强,综合程度高,如果容易建立平面直角坐标系,那么就可以将问题转化为函数问题解决.易错三 忽视辅助角公式与三角函数的性质【案例3】已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x,若f(x-a)=f(x),则实数a=.【解析】函数f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin ,因为f(x-a)=f(x),所以函数图像关于直线x=对称.令2x+=2k+,kZ,得x=kZ,所以函数y=2sin 图像的对称轴为直线x=kZ,依题意,得kZa=k+
4、,kZ.答案:k+,kZ【易错分析】如果忽视了三角函数y=asin x+bcos x解析式的等价转换,就不能利用三角函数图像的周期性和对称性,以致错解.【避错警示】由于正弦曲线y=sin x具有周期性,所以正弦曲线的对称轴和对称中心也具有周而复始出现的特点,利用换元法和辅助角公式,可以求得三角函数y=asin x+bcos x=sin(x+)图像的对称轴方程和对称中心的坐标.易错四 忽视隐含条件【案例4】已知方程x2+3 x+4=0的两个实数根是tan,tan,且,则+等于()【解析】选B.因为tan,tan 是方程x2+3 x+4=0的两个实数根,所以tan+tan=-3 0.又,所以,从而
5、-+0,又因为tan(+)=所以+=+k(kZ).又因为-+0,所以-+k0,解得因为kZ,所以k=-1,从而+=.所以+=.【易错分析】本题如果仅由条件,易得-+,再由tan(+)=,就会解得+=或+=,导致增解.【避错警示】由三角函数值求角,首先要确定角的范围,其次要充分挖掘题目中的隐含条件,避免因扩大角的范围导致增解而出错.易错五 忽视三角函数值的符号【案例5】已知ABC中,sin A=,cos B=,则cos C=()【解析】选A.在ABC中,sin A=,cos B=,则cos A=,若cos A=-,则cos A+cos B=得cos A+cos B0cos A-cos Bcos
6、A-BA+B,与A+B+C=矛盾,所以cos A=,又因为sin B=所以cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B【易错分析】本题容易出现以下错解:在ABC中,sin A=,cos B=,则cos A=,sin B=则cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B【避错警示】在ABC中,由sin A,cos B或sin A,sin B的值,计算sin C或cos C的值,首先要满足A+BAcos(-B)cos A+cos B0,否则容易增解或漏解.易错六 运用半角公式容易增解【案例6】已知为第四象限角,若sin+cos=,则sin
7、2=,cos 2=.【解析】因为为第四象限角,且sin+cos=,则(sin+cos)2=,得1+2sin cos=,所以sin cos=-,解得sin=-,cos=,所以sin 2=2sin cos=-,cos 2=2cos2-1=.答案:-【易错分析】本题若采用半角公式,将导致开平方无法确定符号出错:因为为第四象限角,且sin+cos=,则(sin+cos)2=,得1+sin 2=,所以sin 2=-,因为为第四象限角,则2k+2k+2,kZ,所以4k+324k+4,kZ,所以cos 2=答案:-【避错警示】如果利用半角公式求三角函数的值,不仅要确定条件中角的范围,还必须关注各三角函数值的符号,以免导致增解或漏解.
