1、阶段复习课第一课 平面向量及其应用 网络体系构建【答案速填】_三角形法则_平行四边形法则_共线向量_向量垂直_向量的投影_线段长度_余弦定理_正弦定理_易错案例警示易错一 忽视向量加法与减法的三角形法则【案例1】已知向量|a|=2,|b|=3,且,则=()A.4B.5C.6D.7【解析】选B.方法一:因为向量|a|=2,|b|=3,且,如图,由向量加法与减法的几何意义,得ab,=4,所以得到矩形的对角线长度为=5.方法二:因为向量所以即a2+b2+2ab=a2+b2-2ab,得ab=0.所以=5.【易错分析】如果忽视了向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则,简单认为=7,本题易得到错误
2、答案D.【避错警示】1.向量加法的平行四边形法则是:在ABCD中,(共起点,为邻边,平行四边形的对角线).2.注意向量加法与减法的三角形法则是:(首尾相接,始终连线),(共起点,连终点,指向被减).易错二 忽视零与零向量的差异【案例2】已知ABC所在平面内一点P满足,则=_.【解析】如图,设D为ABC的边BC的中点,则又得所以,点P为ABC的重心,且所以,即=0.答案:0【易错分析】如果忽视了零和零向量的差异,本题易得到错误答案0.【避错警示】零和零向量不同,不能混为一谈:0是实数,没有方向,0是向量,其方向是任意的,规定零向量与任意向量共线.易错三 判断条件与结论互推时出错【案例3】(201
3、9北京高考)设点A,B,C不共线,则“的夹角为锐角”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.因为所以的夹角为锐角或0,又因为点A,B,C不共线,所以的夹角不为0,即的夹角为锐角.【易错分析】如果不能灵活对条件和结论进行真假判断,就会错选B,这是忽视了逆向思维在解题中的应用.【避错警示】本题以向量的夹角和向量的模的不等式为载体考查了充要条件的判断,1.从条件与结论的关系判断:设p为条件,q为结论(1)pq,且pq,则p是q的充分不必要条件,同时,q是p的必要不充分条件;(2)pq,且pq,则p是q的充要条件,同时,q是p的充要条件
4、;(3)p q,且pq,则p是q的既不充分也不必要条件,同时,q是p的既不充分也不必要条件.2.从集合的包含关系判断:设集合A=x|p(x),B=x|q(x),A与B的包含关系有:易错四 忽视向量的夹角【案例4】设平面向量a=(-2,1),b=(,-1),若a与b的夹角为钝角,则的取值范围是()A.(2,+)B.(-,-)C.(-,+)D.(-,2)(2,+)【解析】选D.方法一:因为a=(-2,1),b=(,-1),且a与b的夹角为钝角,则ab0,得-2-1-.设b=ma,得(,-1)=(-2m,m),所以m=-1,=-2m=2,所以当=2时,向量a与b的方向相反,a与b的夹角为平角,不满足
5、题意,所以2.综上所述,的取值范围是(-,2)(2,+).方法二:作向量=a=(-2,1),=b=(,-1),如图,由ab=0,得-2-1=0,解得=-.设b=ma,得(,-1)=(-2m,m),解得m=-1,=-2m=2,所以当=2时,向量a与b的方向相反,a与b的夹角为平角,不满足题意,所以2.结合图形,所以的取值范围是(-,2)(2,+).【易错分析】忽视了a与b方向相反的情况,易误选C,这是因为ab0时,a与b的夹角为钝角或平角,即ab0且a与b方向不相同 ;ab0且a与b方向不相反 .易错五 忽视三点共线的条件【案例5】如图,在ABC中,P是BN上的一点,若则实数m的值为_.【解析】
6、方法一:因为所以1-k=m,且,解得k=,m=.方法二:因为,所以得因为B、P、N三点共线,所以m+=1,解得m=.答案:【易错分析】本题如果忽视了B,P,N三点共线时,满足m+=1这一重要结论,解题过程将变得烦琐甚至无法得解.【避错警示】三点共线的充要条件:对于空间任一点O,三点A、B、P在同一条直线上的充要条件是:存在实数t,使(或者).易错六 忽视三角形中隐含条件出现错题【案例6】已知向量m=(sin(A-B),sin(-A),n=(1,2sinB),且mn=-sin2C,其中A、B、C分别为ABC的三边a、b、c所对的角.(1)求角C的大小;(2)若sin A+sinB=sinC,且S
7、ABC=,求边c的长.【解析】(1)mn=sin(A-B)+2cos AsinB=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B),在ABC中,A+B=-C,0C,所以sin(A+B)=sin C,又mn=-sin2C.所以sin C=-sin2C=-2sin Ccos C,所以cos C=-.即C=.(2)因为sin A+sinB=sinC,由正弦定理得a+b=c.SABC=absin C=得ab=4.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=c2-4解得c=.【易错分析】本题第(2)问看似无懈可击,其实,在ABC中,由条件C=,sin
8、 A+sin B=sin C,且SABC=,求边c的长,这样的三角形不成立.事实上,由C=,SABC=,可得ab=4.又条件sin A+sinB=sinC即a+b=得a+b=此时,(a-b)2=(a+b)2-4ab=-,矛盾.【避错警示】产生上述错误的原因是什么呢?问题就是:在三角形中,若ab=4,C=,且a+b=mc,这里参数m的值是需要严格限制的.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab=(a+b)2-ab又a+b=mc,必有(a+b)2-ab=(a+b)2,所以因为(a-b)2=(a+b)2-4ab0,所以 4,得1m2 ,事实上,本题当m=时,m2=,出现错误
9、.本题若将sin A+sinB=sinC换为sin A+sinB=sinC,其余条件不变,问题不变,则可求得c=4.易错七 忽视非等价转化出现错题【案例7】在ABC中,sin A+cos A=,AC=2,AB=3,求tanA的值和ABC的面积.【解析】方法一:因为sin A+cos A=,所以cos(A-45)=得cos(A-45)=,又0A180,所以A-45=60,得A=105.所以tan A=tan(45+60)=-2-,sin A=sin(45+60)=,SABC=ACABsin A=方法二:因为sin A+cos A=,所以2sin Acos A=-.又0A0,cos A0,因为(s
10、in A-cos A)2=1-2sin Acos A=,所以sin A-cos A=,解得sin A=,cos A=,tanA=SABC=ABACsin A=23【易错分析】本题若对条件sin A+cos A=两边平方,容易出现增解:即2sin Acos A=-,所以sin2A=-,又02A360,所以2A=210或2A=330得A=105或A=165,当A=105时,tanA=tan(45+60)=-2-,sin A=sin(45+60)=,所以ABC的面积为ABACsin A=23当A=165时,tan A=tan(45+120)=-2+,sin A=sin(45+120)=ABC的面积为ABACsin A=23【避错警示】本题若对条件sin A+cos A=两边平方,是没有注意到平方是非等价转化的过程,产生了增根,事实上,若A=165,sin A=,cos A=-,此时sin A+cos A=-,显然与已知条件sin A+cos A=矛盾.
