1、8.3 简单几何体的表面积与体积8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 基础预习初探1.观察棱柱、棱锥、棱台(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)的表面展开图,各几何体的表面积与展开图中的各部分平面图形的面积有何关系?提示:各几何体的表面积等于展开图中各部分平面图形的面积之和.2.棱柱、棱锥、棱台的高分别指什么?提示:棱柱的高是指两底面之间的距离;棱锥的高是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足之间的距离;棱台的高是指两底面之间的距离.3.一个几何体的平面展开图一定相同吗?其表面积是否确定?提示:不同的展开方式,几何体的平面展开图不一定相同;表面积是各个面的面积和,几何体的平面展开方法可能不同,但其表
2、面积唯一确定.4.棱柱、棱锥、棱台的体积与这些几何体的哪些量有关?提示:它们的体积与这些几何体的底面积和高有关.【概念生成】1.棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是_的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_的面积的和.围成多面体的各个面围成它们的各个面2.棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V棱柱=_S为棱柱的底面积,h为棱柱的高棱锥_S为棱锥的底面积,h为棱锥的高棱台_S,S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高Sh核心互动探究探究点一 求棱柱、棱锥、棱台的表面积【典例1】已知正四棱锥底面边长为4,高与斜高夹角为30.求它的侧面积和表面积.【思维导引】根据多面体的侧面积公式,可
3、以先求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高,进而由公式求解.【解析】如图所示,设正四棱锥的高为PO,斜高为PE,底面边心距为OE,它们组成一个直角三角形POE.因为OE=2,OPE=30,所以PE=4.所以S正四棱锥侧=ch=(44)4=32,S表面积=42+32=48.即该正四棱锥的侧面积是32,表面积是48.【类题通法】棱锥的表面积求法1.要求锥体的侧面积及表面积,要利用已知条件寻求公式中所需的条件,一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量.2.空间几何体的表面积运算,一般是转化为平面几何图形的运算,往往通过解三角形来完成.提醒:(1)多面体的侧面积是各个侧面的面积
4、之和.(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.【知识延拓】九章算术中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中虚线平分矩形的面积,则该“堑堵”的侧面积为()A.2B.4+2 C.4+4 D.6+4 【解题指南】根据三视图可判断该几何体的底面为等腰直角三角形,再根据三视图数据求该几何体的侧面积.【解析】选C.由题可知,该几何体的底面为等腰直角三角形,等腰直角三角形的斜边长为2,腰长为,棱柱的高为2.所以其侧面积S=22+2 2=4+4 .【定向训练】1.(2020全国卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为
5、边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.B.C.D.【解析】选C.如图,设CD=a,PE=b,则PO=,由题意PO2=ab,即b2-=ab,化简得4 -2 -1=0,解得=(负值舍去).2.一个正四棱柱的体对角线的长是9 cm,全面积等于144 cm2,则这个棱柱的侧面积为_ cm2.【解析】设底面边长,侧棱长分别为a cm,l cm,则所以或所以S侧=447=112(cm2)或S侧=463=72(cm2).答案:112或72【补偿训练】1.现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积.
6、【解析】如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,对角线A1C=15,B1D=9,所以a2+52=152,b2+52=92,所以a2=200,b2=56.因为该直四棱柱的底面是菱形,所以AB2=,所以AB=8.所以直四棱柱的侧面积S=485=160.2.若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为()A.B.2 C.D.【解析】选B.所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1,高为的四棱锥的侧面积之和,如图,四棱锥的侧棱长l=1,所以以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积:S=811sin 60=2 .探究点二 棱柱、棱锥、棱台的体积【典例2】如图,正方体AB
7、CD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分,其体积分别为V1,V2,且V2V1,求V1,V2以及V1V2.【思维导引】明确截面将正方体分成的两个几何体的结构特征,然后求出V1,而V2直接用正方体的体积减去V1即得.【解析】截面将正方体化为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD,其中底面ABD是腰长为a的等腰直角三角形,其面积S=ABAD=a2,底面ABD上的高为h=AA1=a.所以其体积V1=Sh=a2a=a3,正方体的体积V=a3,所以V2=V-V1=a3-a3=a3.所以V1V2=15.【类题通法】求几何体体积的常用方法:【知识延拓】如图,三棱台ABC-A1
8、B1C1中,ABA1B1=12,求三棱锥A1-ABC,三棱锥B-A1B1C,三棱锥C-A1B1C1的体积之比.【思路探究】【解析】设棱台的高为h,SABC=S,则=4S.所以又V台=h(S+4S+2S)=Sh,所以=Sh-,所以体积比为124.【规律方法】三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥,分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系,割补法在立体几何中是一种重要的方法.【定向训练】1.(2018天津高考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为_.【解析】依题意得该四棱锥M-EFGH为
9、正四棱锥,其高为正方体棱长的一半,即为,正方形EFGH的边长为,其面积为,所以四棱锥M-EFGH的体积VM-EFGH=答案:2.(2020南京高一检测)在三棱柱ABC-A1B1C1中,点P是棱CC1上一点,记三棱柱ABC-A1B1C1与四棱锥P-ABB1A1的体积分别为V1与V2,则=_.【解析】设三棱柱底面积是S,高是h,则V1=Sh,设三棱锥P-ABC和P-A1B1C1的高分别是h1和h2,则h1+h2=h,VP-ABC=Sh1,=Sh2,V2=V1-(VP-ABC+)=Sh=V1,所以.答案:探究点三 简单几何体的表面积和体积【典例3】如图,在多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长
10、为4的正方形,EFAB,EF=2,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积.【思维导引】将几何体分割成两个棱锥求解.【解析】如图,连接EB,EC,AC.423=16.因为AB=2EF,EFAB,所以SEAB=2SBEF.所以=4.所以多面体的体积V=16+4=20.【类题通法】割补法是求不规则几何体体积的常用求法,解此类题时,分割与补形的原则是分割或补形后的几何体是简单几何体,且体积易求.【知识延拓】三棱锥体积公式的推导已知三棱锥A1-ABC的底面积为S,高为h,则把三棱锥以ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥,就是三棱锥和另两个三棱锥,
11、.三棱锥,的底ABA1、B1A1B的面积相等,高也相等(顶点都是C);三棱锥,的底BCB1、C1B1C的面积相等,高也相等(顶点都是A1),所以V=V=V,因为V三棱柱=Sh.所以V三棱锥=Sh.【方法总结】求组合体表面积和体积的关键求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式,对于与旋转体有关的组合体问题,要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长,再分别代入公式求解.【定向训练】1.如图,某几何体下面部分为正方体ABCD-ABCD,上面部分为正四棱锥S-ABCD,若几何体高为5,棱AB=2,则该几何体的体积为_.【解析】V正方体=23=8,VS-ABCD=
12、22(5-2)=4.V=V正方体+VS-ABCD=12.答案:122.(2019全国卷)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为_g.【解析】S四边形EFGH=46-423=12(cm2),V=664-123=132(cm3).m=V=0.9132=118.8(g).答案:118.8【课堂小结】课堂素养达标1.长方体三个面的面积分
13、别为2,6和9,则长方体的体积是()A.6 B.3 C.11D.12【解析】选A.设长方体长、宽、高分别为a,b,c,不妨令ab=2,ac=6,bc=9,相乘得(abc)2=108,所以V=abc=6 .2.已知正四棱锥底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为()A.6B.12C.24D.48【解析】选D.正四棱锥的斜高h=4,S侧=4 64=48.3.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是()【解析】选D.如图,去掉的一个棱锥的体积是剩余几何体的体积是4.棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积等于_.【解析】V台=(2+4+)3=3(6+2 )=6+2 .答案:6+2 5.如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点,F为CC1上一点,求三棱锥A1-D1EF的体积.【解析】由因为又三棱锥F-A1D1E的高为CD=a,所以所以
