1、6.2 平面向量的运算6.2.1 向量的加法运算基础预习初探分析下列实例:(1)飞机从广州飞往上海,再从上海飞往北京(如图),这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.(2)有两条拖轮牵引一艘轮船,它们的牵引力分别是F1=3 000 N,F2=2 000 N,牵引绳之间的夹角为=60(如图),如果只用一条拖轮来牵引,也能产生跟原来相同的效果.【思考】1.从物理学的角度,上面实例中位移、牵引力说明了什么?体现了向量的什么运算?2.上述实例中位移的和运算、力的和运算分别运用了什么法则?提示:1.后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移,四边形OACB的对角线表示的力是与表示的力的合力.
2、体现了向量的加法运算.2.三角形法则和平行四边形法则.【概念生成】1.向量加法的定义求两个向量_,叫做向量的加法.和的运算2.向量求和的法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a,b,在平面上任取一点A,作=a,=b,则向量叫做_,记作_,即a+b=+=.当a,b不共线时,这种求向量和的方法,称为向量加法的_法则.对于零向量与任一向量a的和有_a与b的和a+b三角形a+0=0+a=a.向量求和的法则平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作OACB,则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的_法则平行四边形向量的加法运算满足交换律:a+b=b+a
3、向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.核心互动探究探究点一 向量加法运算法则的应用【典例1】如图,已知向量a,b,c,求作和向量a+b+c.【思维导引】有两种方法作图:方法一:让两个向量首尾相接,作出和向量再和第三个向量首尾相接.方法二:让两个向量有共同起点相加,再和第三个向量相加.【解析】方法一:可先作a+c,再作(a+c)+b,即a+b+c.如图,首先在平面内任取一点O,作向量=a,接着作向量=c,则得向量=a+c,然后作向量=b,则向量=a+b+c为所求.方法二:三个向量不共线,用平行四边形法则来作.如图,(1)在平面内任取一点O,作=a,=b.(2)作平行四
4、边形AOBC,则=a+b.(3)再作向量=c.(4)作平行四边形CODE,则=+c=a+b+c.即为所求.【类题通法】应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)三角形法则可以推广到n个向量求和,作图时要求“首尾相连”,即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量.(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起点重合.(3)求作三个或三个以上的向量的和时,用三角形法则更简单.提醒:(1)三角形法则中强调“首尾相接”,平行四边形法则中强调的是“共起点”;(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量
5、求和.【定向训练】如图,已知向量a,b,求作向量a+b.【解析】(1)作=a,=b,则=a+b,如图(1).(2)作=a,=b,则=a+b,如图(2).(3)作=a,=b,则=a+b,如图(3).【补偿训练】如图所示,设O为正六边形ABCDEF的中心,求下列向量:(1);(2).【解析】(1)由图可知,四边形OABC为平行四边形,所以由向量加法的平行四边形法则得.(2)由图可知,所以探究点二 向量加法运算律的应用【典例2】化简下列各式:(1)(2)【思维导引】首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连,然后利用向量加法的结合律求和.【解析】(1)【类题通法】向量运算中化简的两种方法(1)代数法
6、:借助向量加法的交换律和结合律,将向量转化为“首尾相接”,向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量.有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量.(2)几何法:通过作图,根据三角形法则或平行四边形法则化简.提醒:利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.【定向训练】设A,B,C,D是平面上任意四点,试化简:【解析】探究点三 向量加法的实际应用【典例3】在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55的方向飞行800 km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
7、【思维导引】解答本题首先正确画出方位图,再根据图形借助于向量求解.【解析】如图所示,设,分别表示飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km,从B地按南偏东55的方向飞行800 km.则飞机飞行的路程指的是|+|;两次飞行的位移的和指的是+=.依题意,有|+|=800+800=1 600(km).又=35,=55,ABC=35+55=90.所以|=从而飞机飞行的路程是1 600 km,两次飞行的位移和的大小为800 km.【类题通法】应用向量加法解决物理学问题的基本步骤(1)表示:用向量表示相关的量,将所有解决的问题转化为向量的加法问题.(2)运算:应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则,进
8、行相关运算.(3)还原:根据向量运算的结果,结合向量共线、相等概念回答原题.易错警示:在根据实际问题转化为向量问题时,由于对实际问题的审题不准确导致解题错误.【定向训练】如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,ACW=150,BCW=120,求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).【解析】如图,设、分别表示A,B所受的力,10 N的重力用表示,则易得ECG=180-150=30,FCG=180-120=60,所以|=|cos 30=10 =5 .|=|cos 60=10 =5.所以A处所受的力的大小为5 N,B处所受的力的大小为5 N.【补偿训练】一艘船以5 km/h的速
9、度向垂直于对岸的方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成30角,求水流速度和船实际速度的大小.【解析】如图所示,表示水流速度,表示船垂直于对岸的方向行驶的速度,表示船实际航行的速度,AOC=30,|=5.因为四边形OACB为矩形,所以所以水流速度大小为5 km/h,船实际速度大小为10 km/h.【课堂小结】课堂素养达标1.化简的结果等于()A.B.C.D.【解析】选B.2.在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是()【解析】选C.因为,所以C错误.3.下列等式错误的是()A.a+0=0+a=aB.C.D.【解析】选B.由向量加法可知4.在矩形ABCD中,若AB=3,BC=2,则|=_.【解析】因为且AC=,所以答案:5.已知向量a,b,c,如图,求作a+b+c.【解析】在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,如图,则由向量加法的三角形法则,得=a+b,=a+b+c,即为所作向量.
