1、5.5 数学归纳法 主题 数学归纳法1.有一串鞭炮相互连接在一起,点着第1个后,整串鞭炮便一个接着一个响了起来,直到最后一个.你知道为什么能响到最后一个吗?提示:因为这些鞭炮之间相互连接着.2.你认为多米诺骨牌游戏中所有骨牌能够被成功推倒,靠的是什么条件?提示:多米诺骨牌游戏中所有的骨牌都倒下靠的是两个条件:(1)第一块骨牌被推倒.(2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下.条件(2)给出了一个递推关系,条件(1)给出了骨牌倒下的基础.基础预习初探结论:数学归纳法的定义一个与_有关的命题,如果(1)_,命题成立;(2)在假设n=k(其中kn0)时命题成立的前提下,能够推出n=k+1
2、时命题也成立,那么,这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立.自然数当n=n0时【对点练】1.用数学归纳法证明n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2(nN*)时,若记f(n)=n+(n+1)+(n+2)+(3n-2),则f(k+1)-f(k)等于()A.3k-1B.3k+1C.8kD.9k【解析】选C.因为f(k)=k+(k+1)+(k+2)+(3k-2),f(k+1)=(k+1)+(k+2)+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1),则f(k+1)-f(k)=3k-1+3k+3k+1-k=8k.2.用数学归纳法证明“设f(n)=1+,则n+f(1)+f(2)+f(n-
3、1)=nf(n)(nN*,n2)”时,第一步要证的式子是_.【解析】因为n2,所以取n0=2.将n0=2代入等式,可得2+f(1)=2f(2).答案:2+f(1)=2f(2)核心互动探究探究点二 用数学归纳法证明不等式【典例2】已知等差数列an中,a2=8,前10项的和S10=185,(1)求数列an的通项公式an.(2)若从数列an中依次取出第2,4,8,2n,项,按原来的顺序排成一个新数列,试求新数列的前n项和An.(3)设Bn=n(5+3an),试比较An和Bn的大小,并说明理由.【思维导引】(1)由等差数列的通项公式和求和公式列出关于首项、公差的方程组求解.(2)分组求和,在每个组内再
4、使用等比数列、等差数列的求和公式.(3)先从1,2,3,4,5,6,7,开始猜测An和Bn的大小,再用数学归纳法证明.【解析】(1)设公差为d,由题意得,解得所以an=5+3(n-1)=3n+2.(2)设新数列为bn,所以bn=32n+2.所以An=3(2+22+23+2n)+2n=32n+1+2n-6.(3)因为An=32n+1+2n-6,所以A1=34-4=8,A2=38-2=22,A3=316=48,A4=332+2=98,A5=364+4=196,A6=3128+6=390,A7=3256+8=776,而B1=20,B2=58,B3=114,B4=188,B5=280,B6=390,B
5、7=518,当n=1,2,3,4,5时,BnAn;当n=6时,B6=A6;当n7,且nN*时,猜想AnBn,用数学归纳法证明:当n=7时,A7=776518=B7,结论正确;假设当n=k(k7)时,AkBk,即32k+1+2k-69k2+11k2k+13k2+3k+2,所以n=k+1时,Ak+1-Bk+1=32k+2+2(k+1)-6-9(k+1)2+11(k+1)=62k+1-9k2-27k-24=62k+1-(3k2+3k+2)+6(3k2+3k+2)-9k2-27k-24=62k+1-(3k2+3k+2)+9k2-9k-129k2-9k-12=9k(k-1)-1297(7-1)-120,
6、所以Ak+1Bk+1,即n=k+1时,结论也正确.综上知,当n7,且nN*时,有AnBn.【类题通法】用数学归纳法证明不等式的技巧(1)应用归纳假设:证明不等式的第二步中,从n=k到n=k+1的推导过程中要应用归纳假设,有时需要对目标进行适当地放缩来实现.(2)证明方法:在应用归纳假设证明时,在证明过程中,方向不明确时,可经过分析找到推证的方向,再用其他方法证明.【定向训练】用数学归纳法证明:不等式(nN+).【证明】当n=1时,左边=1,右边=2,左边右边,不等式成立.假设当n=k(k1且kN+)时,不等式成立,即则当n=k+1时,+=所以当n=k+1时,不等式成立.由可知,原不等式对任意n
7、N+都成立.探究点三 用数学归纳法证明整除问题【典例3】用数学归纳法证明:n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除(nN+).【思维导引】在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑.【证明】(1)当n=1时,13+23+33=36能被9整除,所以结论成立;(2)假设当n=k(kN+,k1)时结论成立,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.则当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=k3+(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3-k3=k3+(k+1)3+(k+2)3+9k2+27k+27=k3+(k+1)3+(k+2)3+9(k2+3k+3).因为k3+(k+1)3+(k+2
8、)3能被9整除,9(k2+3k+3)也能被9整除,所以(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3也能被9整除,即n=k+1时结论也成立.由(1)(2)知命题对一切nN+成立.【类题通法】用数学归纳法证明整除问题的关键证明整除问题的关键是“凑项”,先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段,凑成n=k时的情形,再利用归纳假设使问题获证.【定向训练】用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为()A.5(5k-2k)+32kB.(5k-2k)+45k-2kC.(5-2)(5k-2k)D.2(5k-2k)-35k【解析】选A.假设n=k时命题
9、成立,即5k-2k被3整除.当n=k+1时,5k+1-2k+1=55k-22k=5(5k-2k)+52k-22k=5(5k-2k)+32k.探究点四 用数学归纳法解决平面几何问题【典例4】已知n个平面都过同一点,但其中任何三个平面都不经过同一直线,求证:这n个平面把空间分成f(n)=n(n-1)+2部分.【证明】(1)当n=1时,1个平面把空间分成2部分,而f(1)=1(1-1)+2=2,所以结论正确.(2)假 设 当 n=k(kN*)时,结 论 成 立,即 k个 符 合 条 件 的 平 面 把 空 间 分 为f(k)=k(k-1)+2部分,当n=k+1时,第(k+1)个平面和其他每一个平面相
10、交,使其所分成的空间都增加2部分,所以共增加2k部分,故f(k+1)=f(k)+2k=k(k-1)+2+2k=k(k-1+2)+2=(k+1)(k+1)-1+2,即当n=k+1时,结论也成立.根据(1)(2),知n个符合条件的平面把空间分成f(n)=n(n-1)+2部分.【类题通法】用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k增加到k+1时,所证的几何量增加多少,同时要善于利用几何图形的直观性,建立k与k+1之间的递推关系.【定向训练】平面内有n(nN*,n2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,求证:交点的个数f(n)=【证明】(1)当n=2时,两条直线的交点只有一个
11、,又f(2)=2(2-1)=1,所以当n=2时,结论成立.(2)假设当n=k(kN*,k2)时结论成立,即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)=k(k-1),那么,当n=k+1时,任取一条直线l,除l以外其他k条直线的交点个数为f(k)=k(k-1),l与其他k条直线的交点个数为k,从而k+1条直线共有f(k)+k个交点,即f(k+1)=f(k)+k=k(k-1)+k=k(k-1+2)=k(k+1)=(k+1)(k+1)-1,所以当n=k+1时,结论成立.由(1)(2)可知,对任意nN*(n2)结论都成立.【课堂小结】课堂素养达标1.用数学归纳法证明:首项是a1,公差是d的等差数列的
12、前n项和公式是Sn=na1+d时,假设当n=k时,公式成立,则Sk=()A.a1+(k-1)dB.C.ka1+dD.(k+1)a1+d【解析】选C.假设当n=k时,公式成立,只需把公式中的n换成k即可,即Sk=ka1+d.2.用数学归纳法证明不等式成立时,起始值n至少应取()A.7B.8C.9D.10【解析】选B.因为所以故n至少应取为8.3.用数学归纳法证明,假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是_.【解析】将n=k+1代入待证式得答案:4.观察下列等式,按照此规律,第n个等式为_.1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49【解析
13、】将原等式变形如下:1=1=122+3+4=9=323+4+5+6+7=25=524+5+6+7+8+9+10=49=72由图知,第n个等式的左边有2n-1项,第一个数是n,是2n-1个连续整数的和,则最后 一 个 数 为 n+(2n-1)-1=3n-2,右 边 是 左 边 项 数 2n-1的 平 方,故 有n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2(nN*).答案:n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2(nN*)5.已知数列an中,a1=5,Sn-1=an(n2且nN*).(1)求a2,a3,a4并由此猜想an的表达式;(2)用数学归纳法证明an的通项公式.【解析】(1)a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10,a4=S3=a1+a2+a3=20.猜想:an=52n-2(n2,nN*).(2)当n=2时,a2=522-2=5成立.假设当n=k(k2且kN*)时猜想成立,即ak=52k-2,则n=k+1时,ak+1=Sk=a1+a2+ak=5+5+10+52k-2=5+=52k-1.故当n=k+1时,猜想也成立.由可知,对n2且nN*,都有an=52n-2.于是数列an的通项公式为an=本课结束
