1、专题09 三角化简技巧一陷阱类型1.用已知角表示未知角2.降幂公式的灵活应用3.“1”的变通4.特殊角的替换作用5.角的一致性6.辅助角公式的灵活应用7.正切公式的灵活应用8.正切变两弦9. 与的关系二防陷阱演练1.用已知角表示未知角例1已知， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】，.选A.【防陷阱措施】用题目所给的已知角表示未知角能够简化解题步骤，节约解题时间练习1设，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D练习2若 ，则tan2=（）A. 3 B. 3 C. D. 【答案】D【解析】因为，所以 ，则 ；故选D.练习3. 若是锐角，且满足，则的值为（ ）A. B. C
2、. D. 【答案】B【解析】是锐角，且，所以也为锐角，所以.故选B.点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可，再利用公式求解前，需将每一个三角函数值确定下来，尤其是要利用角的终边确定好正负.练习4. 已知， ，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】D练习5. 已知， ，且， ,则的值为_【答案】【解析】，22.0，0，20，22，cos(2).又0且sin ，cos，cos 2cos(2)cos(2)cossin(2)sin .又cos 212sin2，sin2.又，
3、sin .2.降幂公式的灵活应用例2. 已知是第一象限的角，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【防陷阱措施】当幂比较高时，注意先使用平方关系把幂降下来练习13.“1”的变通例3若=,则=A. B. C. 1 D. 【答案】A【解析】=.故选A练习1已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）-3（2）1【解析】试题分析：（1）利用两角和的正切函数化简求解即可（2）利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可4.特殊角的替换作用例4. 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故选C。练习1A. B. -1 C. D. 1【答案】D【解析】，故选：D.5.
4、角的一致性例5. 的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D练习1=_【答案】-1【解析】因为，所以.所以原式为-1.答案为-1.练习2_.【答案】【解析】故答案为练习3_【答案】【解析】 由，及，可得，所以.练习4_【答案】【解析】，.故答案为： 练习5. 求值： _【答案】4【解析】 故答案为4练习6_【答案】点睛：解答本题的关键是借助题设中角度的特征，先将切化弦，再运用三角变换公式及二倍角的正弦余弦公式进行运算，进而达到化简的目的。练习7化简的值为_【答案】【解析】原式 ，故答案为.练习8求的值.【答案】2.【解析】试题分析：利用题意结合所给三角函数式的特征构造两角和差正余弦公式计算
5、可得三角函数式的值为2.试题解析：原式 6.辅助角公式的灵活应用例6. 已知，则的最大值为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C7.正切公式的灵活应用例7. A. B. C. D. 【答案】D【解析】 所以 所以原式等于故选D【防陷阱措施】巧妙应用两角和差的正切公式，找到和与乘积的关系练习1在数1和2之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列，将这个数的乘积记为，令， ， _【答案】【解析】设在数和之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列为，则，即为此等比数列的公比， ， ，由，又 ， ， ， ，故答案为.练习2_【答案】【解析】， ,，故答案为.练习3_【答案】8【解析】注意到可
6、化为.项证明一般结论如下： ，由于，故原式.8.正切变两弦例8的值为（ ）A. B. C. 1 D. 2【答案】C【解析】 ，故选C.【防陷阱措施】本题的解题关键是：1.切化弦；2.辅助角公式；3.利用二倍角公式和诱导公式求解.练习1（ ）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】故选D.9. 与的关系例9. 已知，则的值为（ ）A. B. C. D.【答案】B.【解析】练习1已知， ，则_【答案】【解析】由题意可得： ， ，因为所以舍去，所以，所以， ，故答案为.三高考真题演练1.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】考点：三角恒等变换.
7、【名师点睛】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系2.【2015高考新课标1，理2】 =( )（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】原式= =，故选D.【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20与160之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.3.【2015高考重庆，理9】若，则（）A、1 B、2 C、3 D、4【答
8、案】C【解析】由已知，选C.【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用4.【2015陕西理6】“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【考点定位】1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件【名师点晴】本题主要考查的是二倍角的余弦公式和充分条件与必要条件，属于容
9、易题解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化5.【2017课标II，理14】函数（）的最大值是 。【答案】1【解析】试题分析：化简三角函数的解析式：，由自变量的范围：可得：，当时，函数取得最大值1。【考点】 三角变换，复合型二次函数的最值。【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函
10、数值符号四个方面分析。6.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=_.【答案】【解析】试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，这样.【考点】1.同角三角函数；2.诱导公式；3.两角差的余弦公式.【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，与关于轴对称，则 ，若与关于 轴对称，则 ，若与关于原点对称，则 .7.【2017江苏，5】 若 则 .【答案】 【解析】故答案为【考点】两角和正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数
11、.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.8.【2015江苏高考，8】已知，则的值为_.【答案】3【解析】【考点定位】两角差正切公式【名师点晴】善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，完成统一角和角与角转换的目的是三角函数式的求值的常用方法. 三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解
12、题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角9.【2015高考四川，理12】 .【答案】.【解析】法一、.法二、.法三、.【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值.有.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.【名师点睛】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角，然后再化为一个三角函数一般地，有.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.10.【2015高考浙江，理11】函数的最小正周期是 ，单调递减区间是 【答案】，.【解析】【考点定位】1.三角恒等变形；2.三角函数的性质【名师点睛】本题考查了三角恒等变形与函数的性质，属于中档题，首先利用二倍角的降幂变形对的表达式作等价变形，其次利用辅助角公式化为形如的形式，再由正弦函数的性质即可得到最小正周期与单调递减区间，三角函数是高考的热点问题，常考查的知识点有三角恒等变形，正余弦定理，单调性周期性等.
