1、第20课导数的综合应用一、 填空题 1. 函数f(x)=ex在x=1处的切线方程是. 2. 若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为. 3. 设函数f(x)=x2+ln x,若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=ax+b,则a+b=. 4. 已知l是曲线y=x3+x的切线中倾斜角最小的切线,则切线l的方程是. 5. 设P为曲线C:y=x2-x+1上一点,曲线C在点P处的切线斜率的范围是-1,3,则点P纵坐标的取值范围是. 6. (2014温州模拟)设函数f(x)=ax3+bx2+cx,若1和-1是函数f(x)的两个零点,x1和x2是f(x)的
2、两个极值点,则x1x2=. 7. (2014长安一中)设aR,函数f(x)=ex+ae-x的导函数是f(x),且f(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为. 8. (2014江西七校联考)若f(x)=x2-2x-4lnx,则f(x)0的解集为.二、 解答题 9. 已知函数f(x)=xln x,若f(x)-x2+ax-6在(0,+)上恒成立,求实数a的取值范围. 10. 已知函数f(x)=其中a是实数.设A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)为该函数图象上的两点,且x1x2.(1) 讨论函数f(x)的单调区间;(2) 若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂
3、直,且x20,由f(x)0,得x2,故f(x)0的解集为(2,+).9. 因为f(x)-x2+ax-6,即aln x+x+,设g(x)=ln x+x+,则g(x)=,x0.当x(0,2)时,g(x)0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g(2)=5+ln 2,所以实数a的取值范围是(-,5+ln 2. 10. (1) 函数f(x)的单调减区间为(-,-1),单调增区间为(-1,0),(0,+).(2) 由导数的几何意义知,点A处的切线斜率为f(x1),点B处的切线斜率为f(x2),故当点A,B处的切线互相垂直时,有f(x1)f(x2)=-1.当x0时,f(x)=2x+2,因为x1x2
4、0,所以(2x1+2)(2x2+2)=-1,所以2x1+20,因此x2-x1=-(2x1+2)+(2x2+2)=1,当用仅当-(2x1+2)=2x2+2=1,即x1=-且x2=-时,等号成立.故函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,有x2-x11.11. (1) 由题意得f(x)=x2+2x+a0在1,+)上恒成立,则a-(x+1)2+1,而y=-(x+1)2+1在1,+)上单调递减,从而ymax=-3,所以a-3.所以amin=-3.(2) 因为对任意的x1,存在x2,使f(x1)g(x2),所以f(x)maxg(x)max,因为f(x)=(x+1)2+a-1在上单调递增,所以f(x)max=f(2)=8+a.又g(x)=,所以g(x)在(-,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,所以x时,g(x)max=g(1)=,所以8+a,则a-8.即a的取值范围是.
